Question

12．為探測(cè)某未知天體的質(zhì)量和密度等情況，科學(xué)家們做了如下的假設(shè)或?qū)嶒?yàn)：
（1）假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則該天體的質(zhì)量是多少？
（2）若用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得在該星體表面質(zhì)量為m的物體的重力為F，則該星體的密度是多少？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力，可確定出中心天體的質(zhì)量．
（2）由質(zhì)量為m的物體的重力為F可求出g，由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$可求得M，再由$ρ=\frac{M}{V}$求得密度．

解答 解：（1）設(shè)該天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{mM}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
     得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$
（2）該星球表面的重力加速度為g，則$g=\frac{F}{m}$
                     又由：$G\frac{mM}{R^2}=mg$
                 由以上得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{F{R^2}}}{Gm}$   
                   密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$
    則解得：$ρ=\frac{{\frac{{F{R^2}}}{Gm}}}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{3F}{4GπmR}$
答：（1）該天體的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）該星體的密度是$\frac{3F}{4GπmR}$．

點(diǎn)評(píng) 明確定萬有引力提供向心力是解題的關(guān)系，若知道g也可求得中心天體的質(zhì)量．