Question

4．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向外，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，L），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$L，0），在坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，0）的C點(diǎn)平行y軸固定一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈性絕緣擋板，C為擋板中點(diǎn)，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y軸方向分速度不變，沿x軸方向分速度反向，大小不變．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為+q的粒子，在P點(diǎn)沿PQ₁方向進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好剛能到達(dá)x軸，求粒子入射速度大小v₀；
（2）要使粒子不碰撞擋板，求粒子射入速度v的范圍；
（3）若粒子與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，求粒子從P點(diǎn)出發(fā)至返回P點(diǎn)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出粒子入射速度大小${v}_{0}^{\;}$；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出臨界軌跡半徑，由半徑公式求出臨界速度，即可求出粒子射入速度的范圍；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，由洛倫茲力提供向心力求出速度，分別求出粒子在磁場(chǎng)外和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求出粒子從P點(diǎn)出發(fā)至返回P點(diǎn)的時(shí)間；

解答 解：（1）如圖甲所示，由幾何關(guān)系得：
${r}_{1}^{\;}+{r}_{1}^{\;}cos30°=L$
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\frac{2LBq}{（2+\sqrt{3}）m}$

（2）如圖乙所示，粒子恰好經(jīng)過(guò)擋板的上端，由幾何關(guān)系得：
$L-（\frac{L}{2}cot30°-\frac{\sqrt{3}}{3}L）tan30°=2{r}_{2}^{\;}cos30°$
$q{v}_{1}^{\;}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$
要使粒子不撞擊擋板，則$v≤{v}_{1}^{\;}$
解得：$v≤\frac{5\sqrt{3}LBq}{18m}$
同理，粒子恰好經(jīng)過(guò)擋板的下端，有
L+$（\frac{L}{2}cot30°+\frac{\sqrt{3}}{3}L）tan30°=2{r}_{3}^{\;}cos30°$
$q{v}_{2}^{\;}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{3}^{\;}}$
要使粒子不撞擊擋板，則$v≥{v}_{2}^{\;}$
解得$v≥\frac{11\sqrt{3}LBq}{18m}$
（3）如圖丙所示，

粒子要能返回P點(diǎn)，必須從（0，-L）處射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系得：
$（2{r}_{4}^{\;}cos30°-\frac{\sqrt{3}}{3}Ltan30°×2）×2$$+2{r}_{1}^{\;}cos30°=2L$，
$q{v}_{3}^{\;}B=m\frac{{v}_{3}^{2}}{{r}_{4}^{\;}}$
在無(wú)場(chǎng)區(qū)勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{勻}^{\;}=\frac{\frac{2L}{sin30°}+\frac{4\sqrt{3}L}{3cos30°}}{{v}_{3}^{\;}}$，${t}_{勻}^{\;}=\frac{6\sqrt{3}m}{Bq}$
在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{磁}^{\;}=\frac{（2π-\frac{2π}{3}）{r}_{4}^{\;}}{{v}_{3}^{\;}}×3$，${t}_{磁}^{\;}=\frac{4πm}{Bq}$
所以粒子從P點(diǎn)出發(fā)到返回P點(diǎn)的時(shí)間$t={t}_{勻}^{\;}+{t}_{磁}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)解得：$t=（6\sqrt{3}+4π）\frac{m}{Bq}$
答：（1）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好剛能到達(dá)x軸，粒子入射速度大小${v}_{0}^{\;}$為$\frac{2LBq}{（2+\sqrt{3}）m}$；
（2）要使粒子不碰撞擋板，粒子射入速度v的范圍$v≤\frac{5\sqrt{3}LBq}{18m}$或$v≥\frac{11\sqrt{3}LBq}{18m}$；
（3）若粒子與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，粒子從P點(diǎn)出發(fā)至返回P點(diǎn)的時(shí)間t為$（6\sqrt{3}+4π）\frac{m}{Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于三小問(wèn)，關(guān)鍵作出三種粒子的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的關(guān)系要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．