Question

1．質(zhì)量為m帶電量為-q的帶電粒子0時(shí)刻由a點(diǎn)以初速度v₀垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖1所示．Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變方向周期性變化如圖2所示（垂直紙面向里為正方向）；Ⅱ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)，方向向上；Ⅲ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與Ⅰ區(qū)域相同均為B₀．粒子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)一定能完成半圓運(yùn)動(dòng)且每次經(jīng)過mn的時(shí)刻均為$\frac{{T}_{0}}{2}$整數(shù)倍，則
（1）粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為多少？
（2）若初始位置與第四次經(jīng)過mn時(shí)的位置距離為x，求粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)速度的可能值（初始位置記為第一次經(jīng)過mn）．
（3）在滿足（2）的條件下，求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小可能值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；或根據(jù)周期的大小求出軌道半徑．
（2）第一種情況，再次進(jìn)入磁場(chǎng)I區(qū)域，磁場(chǎng)方向與之前相同，第二種情況，再次進(jìn)入磁場(chǎng)I區(qū)域，磁場(chǎng)方向與之前方向相反，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求出粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)速度的可能值．
（3）根據(jù)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅲ區(qū)域的速度，結(jié)合速度時(shí)間公式和牛頓第二定律，根據(jù)周期性，求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小可能值．

解答 解：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得r=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．
也可以表示為T₀=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
解得r=$\frac{{T}_{0}{v}_{0}}{2π}$．
（2）第一種情況：
根據(jù)幾何關(guān)系得，粒子在Ⅲ區(qū)域的半徑R=$\frac{x}{2}$，
根據(jù)qv₂B₀=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$得，
解得3區(qū)域速度大�。簐₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$．
第二種情況：
根據(jù)幾何關(guān)系得，粒子在Ⅲ區(qū)域半徑R=$\frac{x-4r}{2}$，
在Ⅲ區(qū)域速度大小v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀
（3）第一種情況：
Ⅲ區(qū)域速度大�。簐₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$
在電場(chǎng)中的時(shí)間：2t=$\frac{{T}_{0}}{2}$+nT₀，
根據(jù)牛頓第二定律有：Eq=ma，
根據(jù)速度時(shí)間公式得：a=$\frac{{v}_{2}-{v}_{0}}{t}$，
聯(lián)立解得：E=$\frac{2q{B}_{0}x-4m{v}_{0}}{q{T}_{0}（2n+1）}$，（n=0，1，2…）
第二種情況：
Ⅲ區(qū)域速度大小v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀
2t=（n+1）T₀，
聯(lián)立解得E=$\frac{q{B}_{0}x-6m{v}_{0}}{q{T}_{0}（n+1）}$，（n=0，1，2…）
答：（1）粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$或$\frac{{T}_{0}{v}_{0}}{2π}$．
（2）粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)速度的可能值為$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$或$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀；
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小可能值為E=$\frac{2q{B}_{0}x-4m{v}_{0}}{q{T}_{0}（2n+1）}$，（n=0，1，2…）或E=$\frac{q{B}_{0}x-6m{v}_{0}}{q{T}_{0}（n+1）}$，（n=0，1，2…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，作出軌跡圖，運(yùn)用半徑公式和幾何關(guān)系綜合求解．