Question

1．質(zhì)量為m的衛(wèi)星與質(zhì)量為M的中心天體的球心間距離為r時(shí)，衛(wèi)星的引力勢(shì)能可表示為E_P=-$\frac{GMm}{r}$，且其機(jī)械能E=E_k+E_p，其中E_k為衛(wèi)星所具有的動(dòng)能．已知衛(wèi)星離中心天體的地面高度為h時(shí)，其所具有的機(jī)械能為-E₀，引力常量G、M、m均已知．求：
（1）該中心天體的球體半徑；
（2）衛(wèi)星圍繞該中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度．

Answer 1

分析 （1）離地面高度為h時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得衛(wèi)星的動(dòng)能，再根據(jù)機(jī)械能得到衛(wèi)星在勢(shì)能表達(dá)式，根據(jù)勢(shì)能表達(dá)式求得該中心天體的半徑；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力可知，當(dāng)軌道半徑與天體半徑相等時(shí)衛(wèi)星的環(huán)繞速度最大，據(jù)此求得最大速度即可．

解答 解：（1）離地面高度為h時(shí)，衛(wèi)星距天體球心的距離r=R+h，根據(jù)勢(shì)能表達(dá)式有：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{R+h}$
在離地h處，衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，則有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得此時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{GMm}{r}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
又此時(shí)衛(wèi)星的機(jī)械能為-E₀，所以可得離地面h處衛(wèi)星的勢(shì)能為：
${E}_{p}=-{E}_{0}-{E}_{k}=-{E}_{0}-\frac{GmM}{2（R+h）}$
綜上可知，衛(wèi)星在離地面h處的勢(shì)能為：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{R+h}=-{E}_{0}-\frac{GMm}{2（R+h）}$
由此解得：R=$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$
（2）衛(wèi)星繞天體圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得衛(wèi)星的運(yùn)行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，即速度大小與衛(wèi)星的軌道半徑的平方根成反比，故當(dāng)r=R時(shí)衛(wèi)星具有最大環(huán)繞速度為：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$
答：（1）該中心天體的球體半徑為$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$；
（2）衛(wèi)星圍繞該中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度為$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引的應(yīng)用主要分為兩大類，一是天體表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．能據(jù)此列式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．