Question

12．如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的質(zhì)量為M的光滑盒子中，盒子的邊長(zhǎng)略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)．
（1）要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，盒子做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度多大？
（2）設(shè)小球在最高點(diǎn)對(duì)盒子的壓力為F₁．在最低點(diǎn)對(duì)盒子的壓力為F₂，試作出（F₂-F₁）-ω²圖象．
（3）盒子運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置時(shí)，這位同學(xué)對(duì)盒子的作用力多大？

Answer 1

分析 （1）在最高點(diǎn)，盒子與小球之間無(wú)作用力，知小球靠重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出角速度的大小；
（2）分別在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解F₁和F₂，進(jìn)而求出（F₂-F₁），從而畫出（F₂-F₁）-ω²圖象；
（3）當(dāng)盒子運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置時(shí)，這位同學(xué)對(duì)盒子作用力的水平分力F′提供向心力，豎直分力F″與重力平衡，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，由重力提供向心力，則有mg=mRω² 
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$
（2）當(dāng)ω≤$\sqrt{\frac{g}{R}}$時(shí)，
${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
mg-F₁=mω²R
解得：F₂-F₁=2mRω²
當(dāng)ω＞$\sqrt{\frac{g}{R}}$時(shí)，${F}_{2}-mg=m{ω}^{2}R$，
${F}_{1}+mg=m{ω}^{2}R$
解得F₂-F₁=2mg 
則（F₂-F₁）-ω²圖象如圖所示：

（3）當(dāng)盒子運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置時(shí)，這位同學(xué)對(duì)盒子作用力的水平分力F′提供向心力，豎直分力F″與重力平衡，即 
F′=（M+m）Rω²，F(xiàn)″=（M+m）g 
則該同學(xué)對(duì)盒子的作用力為F=$\sqrt{F{′}^{2}+F{″}^{2}}=（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$
答：（1）要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，盒子做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{g}{R}}$；
（2）（F₂-F₁）-ω²圖象如圖所示．
（3）盒子運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置時(shí)，這位同學(xué)對(duì)盒子的作用力為$（m+M）\sqrt{{R}^{2}{ω}^{4}+{g}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的向心力來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度適中．