Question

18．如圖，一輕彈簧原長(zhǎng)為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為$\frac{5}{6}$R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直面內(nèi)．質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{4}$，重力加速度大小為g．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物體從C到B的過(guò)程分析，由動(dòng)能定理列式可求得物體到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）同（1）的方法求出物塊返回B點(diǎn)的速度，然后對(duì)壓縮的過(guò)程與彈簧伸長(zhǎng)的過(guò)程應(yīng)用功能關(guān)系即可求出；
（3）P離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將物塊的運(yùn)動(dòng)分解即可求出物塊在D點(diǎn)的速度，E到D的過(guò)程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系即可求出物塊P的質(zhì)量．

解答 解：（1）C到B的過(guò)程中重力和斜面的阻力做功，所以：
$mg•\overline{BC}sin37°-μmgcos37°•\overline{BC}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
其中：$\overline{BC}=\overline{AC}-2R$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{B}=2\sqrt{gR}$
（2）物塊返回B點(diǎn)后向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
$-mg•\overline{BF}sin37°-μmgcos37°•\overline{BF}=0-\frac{1}{2}m{v′}_{B}^{2}$
其中：$\overline{BF}=\overline{AF}-2R$
聯(lián)立得：${v}_{B}′=\sqrt{\frac{16gR}{5}}$
物塊P向下到達(dá)最低點(diǎn)又返回的過(guò)程中只有摩擦力做功，設(shè)最大壓縮量為x，則：
$-μmgcos37°•2x=\frac{1}{2}mv{′}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
整理得：x=R
物塊向下壓縮彈簧的過(guò)程設(shè)克服彈力做功為W，則：
$mgx•sin37°-μmgcos37°•x-W=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又由于彈簧增加的彈性勢(shì)能等于物塊克服彈力做的功，即：E_P=W
所以：E_P=2.4mgR
（3）由幾何關(guān)系可知圖中D點(diǎn)相對(duì)于C點(diǎn)的高度：

h=r+rcos37°=1.8r=$1.8×\frac{5}{6}R$=1.5R
所以D點(diǎn)相對(duì)于G點(diǎn)的高度：H=1.5R+R=2.5R
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{5R}{g}}$
G點(diǎn)到D點(diǎn)的水平距離：L=$\frac{7}{2}R-rsin37°$=$\frac{7}{2}R-\frac{5}{6}R×\frac{3}{5}=3R$
由：L=v_Dt
聯(lián)立得：${v}_{D}=\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$
E到D的過(guò)程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系得：
${E}_{P}-m′g（\overline{EC}sin37°+h）-μm′gcos37°•\overline{EC}=\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}-0$
聯(lián)立得：m′=$\frac{1}{3}m$
答：（1）P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小是$2\sqrt{gR}$．
（2）P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是2.4mgR．
（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$，改變后P的質(zhì)量是$\frac{1}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查功能關(guān)系、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)以及平拋運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于明確能達(dá)到E點(diǎn)的，并能正確列出動(dòng)能定理及理解題目中公式的含義．