Question

10．如圖所示，質(zhì)量M，長L的勻質(zhì)木板放在光滑水平面上，板的左端有一個(gè)質(zhì)量為m的小物體，現(xiàn)用外力作用在m上，使m以恒定的速率v水平向前運(yùn)動(dòng)，物體最多只能到達(dá)板的中點(diǎn)，求
（1）物體剛到達(dá)板的中點(diǎn)時(shí)，板移動(dòng)的距離；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物體能夠到板的右端，板和桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是多大？

Answer 1

分析 （1）由題可知，m與M之間一定存在摩擦力，木板M受到不變的摩擦力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物體m做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式與勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，即可求出木板運(yùn)動(dòng)的位移；
（2）木板M做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式，求出木板的加速度，然后結(jié)合牛頓第二定律，先求出木板與物體之間的摩擦因數(shù)；
當(dāng)?shù)孛娲植跁r(shí)，對(duì)木板進(jìn)行受力分析，并結(jié)合牛頓第二定律求出地面粗糙時(shí)木板的加速度，然后結(jié)合位移公式，以及木板的位移與物體的位移之間的關(guān)系，列出相應(yīng)的表達(dá)式，即可求解．

解答 解：（1）由題可知，木板M做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物體m做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，木板的位移為x₁，物體的位移為x₂，則有：
${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{1}{2}L$…①
木板的位移為：…②
物體的位移為：x₂=vt…③
聯(lián)立①②③得：${x}_{1}=\frac{1}{2}L$，$t=\frac{L}{v}$…④
（2）地面光滑時(shí)，木板M做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$…⑤
聯(lián)立④⑤得：${a}_{1}=\frac{{v}^{2}}{L}$
設(shè)木板與物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，又：Ma₁=μ₁mg
所以：${μ}_{1}=\frac{M{a}_{1}}{mg}=\frac{M{v}^{2}}{mgL}$…⑥
設(shè)木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，則木板受到的地面的摩擦力：f₂=μ₂（m+M）g…⑦
木板是加速度a₂：Ma₂=μ₁mg-f₂…⑧
設(shè)物體運(yùn)動(dòng)到木板的右側(cè)的時(shí)間是t′，物塊恰好運(yùn)動(dòng)至木板的右側(cè)，則：a₂t′=v
木板的位移：${x}_{3}=\frac{v}{2}•t′$
物體的位移：x₄=vt′
又：x₄-x₃=L
聯(lián)立以上三式得：$t′=\frac{2L}{v}=2t$
所以：${a}_{2}=\frac{v}{t′}=\frac{v}{2t}=\frac{{v}^{2}}{2L}=\frac{1}{2}{a}_{1}$…⑨
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨，解得：μ₂=$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$
答：（1）物體剛到達(dá)板的中點(diǎn)時(shí)，板移動(dòng)的距離是$\frac{1}{2}$L；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物體能夠到板的右端，板和桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)是$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中．由于物體與木板之間的摩擦因數(shù)是未知量，所以在計(jì)算的過程中，向表達(dá)式物體與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，以及兩種情況下木板的加速度的關(guān)系，就是解答該題的關(guān)鍵．