Question

10．如圖所示，質(zhì)量M，長L的勻質(zhì)木板放在光滑水平面上，板的左端有一個質(zhì)量為m的小物體，現(xiàn)用外力作用在m上，使m以恒定的速率v水平向前運動，物體最多只能到達(dá)板的中點，求
（1）物體剛到達(dá)板的中點時，板移動的距離；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物體能夠到板的右端，板和桌面間的動摩擦因數(shù)是多大？

Answer 1

分析 （1）由題可知，m與M之間一定存在摩擦力，木板M受到不變的摩擦力的作用，做勻加速直線運動，物體m做勻速直線運動，結(jié)合勻速直線運動的位移公式與勻加速直線運動的位移公式，即可求出木板運動的位移；
（2）木板M做勻加速直線運動，由位移公式，求出木板的加速度，然后結(jié)合牛頓第二定律，先求出木板與物體之間的摩擦因數(shù)；
當(dāng)?shù)孛娲植跁r，對木板進(jìn)行受力分析，并結(jié)合牛頓第二定律求出地面粗糙時木板的加速度，然后結(jié)合位移公式，以及木板的位移與物體的位移之間的關(guān)系，列出相應(yīng)的表達(dá)式，即可求解．

解答 解：（1）由題可知，木板M做勻加速直線運動，物體m做勻速直線運動，設(shè)運動的時間為t，木板的位移為x₁，物體的位移為x₂，則有：
${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{1}{2}L$…①
木板的位移為：…②
物體的位移為：x₂=vt…③
聯(lián)立①②③得：${x}_{1}=\frac{1}{2}L$，$t=\frac{L}{v}$…④
（2）地面光滑時，木板M做勻加速直線運動，有：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$…⑤
聯(lián)立④⑤得：${a}_{1}=\frac{{v}^{2}}{L}$
設(shè)木板與物體之間的動摩擦因數(shù)為μ₁，又：Ma₁=μ₁mg
所以：${μ}_{1}=\frac{M{a}_{1}}{mg}=\frac{M{v}^{2}}{mgL}$…⑥
設(shè)木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ₂，則木板受到的地面的摩擦力：f₂=μ₂（m+M）g…⑦
木板是加速度a₂：Ma₂=μ₁mg-f₂…⑧
設(shè)物體運動到木板的右側(cè)的時間是t′，物塊恰好運動至木板的右側(cè)，則：a₂t′=v
木板的位移：${x}_{3}=\frac{v}{2}•t′$
物體的位移：x₄=vt′
又：x₄-x₃=L
聯(lián)立以上三式得：$t′=\frac{2L}{v}=2t$
所以：${a}_{2}=\frac{v}{t′}=\frac{v}{2t}=\frac{{v}^{2}}{2L}=\frac{1}{2}{a}_{1}$…⑨
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨，解得：μ₂=$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$
答：（1）物體剛到達(dá)板的中點時，板移動的距離是$\frac{1}{2}$L；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物體能夠到板的右端，板和桌面間的動摩擦因數(shù)是$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$．

點評 該題中．由于物體與木板之間的摩擦因數(shù)是未知量，所以在計算的過程中，向表達(dá)式物體與木板之間的動摩擦因數(shù)，以及兩種情況下木板的加速度的關(guān)系，就是解答該題的關(guān)鍵．