Question

7．如圖所示，紙面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xOy，a、b為坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（0，2l）、（3l，0），直線MN過(guò)b點(diǎn)且可根據(jù)需要繞b點(diǎn)在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，MN右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的帶電粒子從a點(diǎn)平行x軸射入第一象限，若MN繞b點(diǎn)轉(zhuǎn)到合適位置，就能保證粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好能夠到達(dá)b點(diǎn)，設(shè)MN與x軸負(fù)方向的夾角為θ，不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)速度沿y軸負(fù)方向，求角θ的值和粒子的初速度v₁；
（2）若粒子的初速度為v₂=$\frac{4qBl}{3m}$，求粒子從a運(yùn)動(dòng)到b的時(shí)間；
（3）在保證粒子能夠到達(dá)b點(diǎn)的前提下，粒子速度取不同的值時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的軌跡圓的圓心位置就不同，求所有這些圓心所在曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出夾角與粒子初速度．
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子軌道半徑，然后求出粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心到y(tǒng)=2L與到b點(diǎn)的距離相等，應(yīng)用幾何知識(shí)可以求出圓心曲線方程．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得，粒子軌道半徑：r=2L，直線MN過(guò)（L，2L）點(diǎn)，
tanθ=$\frac{2L}{2L}$=1，θ=45°，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\frac{2qBL}{m}$；
（2）洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{4}{3}$L，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：cosβ=$\frac{2L-\frac{4}{3}L}{\frac{4}{3}L}$=$\frac{1}{2}$，β=60°，α=180°-β=180°-60°=120°，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{120°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），由（2）可知，
圓心到y(tǒng)=2L的距離等于到b點(diǎn)的距離，
即：2L-y=$\sqrt{（3L-x）^{2}+{y}^{2}}$，
解得：y=L-$\frac{（x-3L）^{2}}{4L}$；
答：（1）若粒子經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)速度沿y軸負(fù)方向，角θ的值為45°，粒子的初速度v₁為$\frac{2qBL}{m}$；
（2）若粒子的初速度為v₂=$\frac{4qBl}{3m}$，粒子從a運(yùn)動(dòng)到b的時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）所有這些圓心所在曲線的方程是：y=L-$\frac{（x-3L）^{2}}{4L}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、求出粒子軌道半徑是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．