Question

7．如圖所示，輕繩繞過定滑輪，一端與質(zhì)量為m的物體相連，另一端受到大小為F的恒力作用，開始時繩與水平方向夾角為α．物體由靜止沿水平面從A點被拉到B點，然后沿斜面被拉到滑輪O處．已知AB=BO=L，不計物體與滑輪的大小和滑輪軸的摩擦，在這一過程中恒力F做功為2FLcosα；若物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，開始時繩與水平方向夾角α=20°，那么物體在AB段運動時加速度大小的變化情況為先增大后減�。�

Answer 1

分析 根據(jù)功的定義，F(xiàn)做的功應(yīng)該是F乘以在F方向的位移，這個位移是力F作用點的位移即繩子伸長的長度．
有幾何關(guān)系先判斷繩子與水平方向之間的夾角變化的范圍，然后結(jié)合受力分析和牛頓第二定律求出物體的加速度的表達(dá)式以及該加速度與繩子和水平方向之間夾角的變化關(guān)系，最后判斷加速度的變化．

解答 解：拉力在AO段做功為：W₁=FS，S為F作用點的位移即繩子伸長的長度，
小物體從A運動到O的過程中，利用數(shù)學(xué)幾何關(guān)系在繩子縮短關(guān)系得S=2•Lcosα
所以 W₁=2FLcosα
O點的豎直高度：h=S•sinα=2Lsinαcosα=L•sin（2α）
BO與水平方向之間的 夾角設(shè)為β，則：$sinβ=\frac{h}{S}$=$sinβ=\frac{h}{L}=\frac{L•sin（2α）}{L}=sin（2α）$
所以：β=2α=2×20°=40°
即物體在AB之間運動時，繩子與水平方向之間的夾角從20°增大到40°．
當(dāng)繩子與水平方向中間的夾角等于θ時，物體的加速度：
$a=\frac{Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）}{m}$=$\frac{F}{m}（cosθ+μsinθ）-μg$=$\frac{F}{m}•\sqrt{1+{μ}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}cosθ-\frac{μ}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}•sinθ）-μg$
令$cosγ=\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$，則：$（\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}cosθ-\frac{μ}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}•sinθ）=cosγcosθ+sinγsinθ$=cos（γ-θ）
則當(dāng)θ=γ時，加速度a有最大值，此時：$cosθ=\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：θ=30°時物體具有最大的加速度，所以物體在AB段運動的過程中的加速度先增大后減�。�
故答案為：2FLcosα，先增大后減小

點評 該圖中，一要注意AB段繩子作用在物體上的力方向在不斷變化，做功不是FLcosθ；二要注意繩子與水平方向之間的夾角變化時，物體的加速度最大的條件．