Question

11．如圖，AB是水平光化軌道，BC是與AB相切的位于豎直平面內(nèi)、半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道，兩個(gè)小球MN間有壓縮的輕短彈簧，整體鎖定靜止在軌道AB上（兩小球與彈簧端接觸但不栓接）．某時(shí)刻解除鎖定，兩小球被彈開(kāi)，此后N小球恰能沿半圓形軌道通過(guò)其最高點(diǎn)C．已知M、N的質(zhì)量分別為0.1kg和0.2kg，g=10m/s²，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）小球恰好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小
（2）小球N從最高點(diǎn)平拋后落到AB軌道上的D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離
（3）剛過(guò)軌道B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道的支持力大小
（4）解除鎖定前，彈簧的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）N小球恰能沿半圓形軌道通過(guò)其最高點(diǎn)C，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求小球恰好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）小球N離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出落地點(diǎn)D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離．
（3）小球N從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程，遵守機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求得小球N通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對(duì)小球N的支持力．
（4）解除鎖定彈簧的過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）由題意可知，小球在最高點(diǎn)C時(shí)，只有重力提供向心力，所以有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
（2）小球過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}$=0.4s
D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為：
S_DB=v_Ct=2×0.4m=0.8m
（3）小球N由B到C滿足機(jī)械能守恒定律，則有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=12N
（4）彈簧解鎖過(guò)程中，M、N組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m_Nv_B-m_Mv_M=0
代入數(shù)據(jù)得：v_M=4$\sqrt{5}$m/s
由能量守恒定律可知：
E_p=$\frac{1}{2}$m_Nv_B²+$\frac{1}{2}$m_Mv_M²．
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=6J
答：（1）小球恰好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小是2m/s．
（2）小球N從最高點(diǎn)平拋后落到AB軌道上的D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離是0.8m．
（3）剛過(guò)軌道B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道的支持力大小是12N．
（4）解除鎖定前，彈簧的彈性勢(shì)能是6J．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源：指向圓心的合力．知道彈簧解除鎖定時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律．