Question

3．如圖所示，帶正電的絕緣小滑塊A，被長R=0.4m的絕緣細繩豎直懸掛，懸點O距水平地面的高度為3R；小滑塊B不帶電．位于O點正下方的地面上．長L=2R的絕緣水平傳送帶上表面距地面的高度h=2R，其左端與O點在同一豎直線上，右端的右側空間有方向豎直向下的勻強電場．在．點與傳送帶之間有位置可調的固定釘子（圖中未畫出），當把A拉到水平位置由靜止釋放后，因釘子阻擋，細繩總會斷裂，使得A能滑上傳送帶繼續(xù)運動，若傳送帶逆時針勻速轉動，A剛好能運動到傳送帶的右端．已知絕緣細繩能承受的最大拉力是A重力的5倍，A所受電場力大小與重力相等，重力加速度g=10m/s²，A、B均可視為質點，皮帶傳動輪半徑很小，A不會因繩斷裂而損失能量、也不會因摩擦而損失電荷量．
試求：
（1）釘子距O點的距離的范圍．
（2）若傳送帶以速度v₀=5m/s順時針勻速轉動，在A剛滑到傳送帶上時，B從靜止開始向右做勻加速直線運動，當A剛落地時，B恰與A相碰．試求B做勻加速運動的加速度大�。ńY果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）物體A運動最低點的過程中因機械能守恒求的最低點的速度，由牛頓第二定律求的半徑最大值即可；
（2）在A運動到傳送帶右端的過程中，因釘子擋繩不損失能量，有動能定理求得摩擦因數，在傳送帶上根據動能定理求的最有短的速度，由運動學公式求的時間，
對B物體由運動學公式即可求得加速度

解答 解：（1）物體A運動最低點的過程中因機械能守恒，由$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
${v}_{1}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×0.4×10}m/s=2\sqrt{2}m/s$
A到最低點，繩子被擋住，有T-mg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{r}$
當T=Tm=5mg，解得r=$\frac{R}{2}=0.2m$
故釘子距O點的距離范圍是0.4m＞x＞0.2m
（2）在A運動到傳送帶右端的過程中，因釘子擋繩不損失能量，
由動能定理mgR-μmgL=0
解得μ=0.5
因v₀=5m/s＞v₁，所以A在傳送帶上將做加速運動，假設A一直加速，到右端的速度為v₂，
由動能定理$μmgL=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得v₂=4m/s，假設成立，故物體做平拋運動，
對A設在傳送帶上運動時間為t1，類平拋運動時間為t₂，由運動學公式
傳送帶上L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{1}$
類平拋運動l=v₂t₂  h=$\frac{1}{2}{at}_{2}^{2}$  qE+mg=ma
聯立解得${t}_{1}=0.4（2-\sqrt{2}）s$，${t}_{2}=0.2\sqrt{2}s$  $l=0.8\sqrt{2}m$
對B設勻加過程的加速度大小為a′
$x=L+l=\frac{1}{2}a′（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$
解得$a′=\frac{20（1+\sqrt{2}）}{9-4\sqrt{2}}m/{s}^{2}=\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$
答：（1）釘子距O點的距離的范圍為0.4m＞x＞0.2m
（2）B做勻加速運動的加速度大小為$\frac{340+260\sqrt{2}}{49}m/{s}^{2}$

點評 本題主要考查了動能定理和運動學公式，抓住A物體運動的時間與B物體運動的時間相同，位移相同即可求解