Question

4．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，笫二象限有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，第三象限存在沿x正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，笫四象限中有一固定的點(diǎn)電荷．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶電粒子由笫二象限中的A點(diǎn)（-a，b）靜止釋放（不計(jì)重力），粒子到達(dá)y軸上的B點(diǎn)時(shí)，其速度方向和y軸負(fù)方向的夾角為45°，粒子在第四象限中恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過x軸上的C點(diǎn)時(shí)，其速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為60°，求：
（1）該帶電粒子剛進(jìn)入笫三象限時(shí)的速度；
（2）帶電粒子在第三象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)度E₁、E₂之比；
（4）點(diǎn)電荷的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在第二象限內(nèi)做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出粒子的速度；
（2）（3）粒子在第二象限在電場(chǎng)力作用下向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與末速度、b、比荷等量的關(guān)系式；進(jìn)入第三象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)強(qiáng)度E₂與初速度、b、比荷等量的關(guān)系式，即可求出E₁和E₂之比，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（4）粒子在第四象限中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求點(diǎn)電荷的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)粒子在第二象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，進(jìn)入第三象限時(shí)的速度為v₀，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v₀²=2$\frac{q{E}_{1}}{m}$b，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}b}{m}}$；
（2）（3）設(shè)粒子在第二象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，進(jìn)入第三象限時(shí)的速度為v₀，有：
b=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
b=$\frac{1}{2}$v₀t₁，
設(shè)粒子在第三象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，在B點(diǎn)速度為v，x軸方向的分速度為v_x，則：
v=$\sqrt{2}$v₀，
v_x=v₀，
a=$\frac{1}{2}$a′t₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{2}}{m}$t₂²，
a=$\frac{1}{2}$v_xt₂，
由以上各式得：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}$=$\frac{a}$，t₂=$\frac{2a}{{v}_{0}}$=$\frac{2a}{{v}_{0}}$=a$\sqrt{\frac{2m}{q{E}_{1}b}}$；
（3）設(shè)O、B的間距為l，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，
則：l=v₀t₂=2a，l=rcos45°+rsin30°，
解得：r=4a（$\sqrt{2}$-1），
所以點(diǎn)電荷的位置坐標(biāo)：x_D=rsin45°=2a（2-$\sqrt{2}$），y₀=-（l-rcos45°）=4a（1-$\sqrt{2}$）；
答：（1）該帶電粒子剛進(jìn)入笫三象限時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{2q{E}_{1}b}{m}}$；
（2）帶電粒子在第三象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為a$\sqrt{\frac{2m}{q{E}_{1}b}}$；
（3）E₁和E₂之比是a：b；
（4）點(diǎn)電荷的位置坐標(biāo)為[2a（2-$\sqrt{2}$），4a（1-$\sqrt{2}$）]．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，對(duì)于直線加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究；對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解處理；對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫軌跡是基本方法．