Question

14．如圖所示，足夠長(zhǎng)的收集板MN和半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)相切，且與磁場(chǎng)的直線邊界CD平行；磁場(chǎng)的圓心為O、半徑為L(zhǎng)，方向垂直紙面向內(nèi)．現(xiàn)有大量質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，從O點(diǎn)沿紙面以相同速率v沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，粒子的軌道半徑也為L(zhǎng)．不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，求：
（1）所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）哪些入射方向（以速度方向與OD間夾角表示）的粒子通過磁場(chǎng)后能打到MN板上；
（3）粒子通過磁場(chǎng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）考慮臨界情況，當(dāng)粒子從磁場(chǎng)中出來后速度的方向與MN平行時(shí)將不能達(dá)到板上，畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行討論即可；
（3）粒子在磁場(chǎng)中對(duì)應(yīng)圓弧的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，圓弧最長(zhǎng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)等于半徑，故可以得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）由洛倫茲力提供向心力得：
$qvB=m\frac{v^2}{L}$
解得：
$B=\frac{mv}{qL}$
（2）剛好不能打到MN上的粒子從磁場(chǎng)中出來后速度的方向與MN平行，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角θ=60°，則入射的方向與直線邊界之間的夾角是0～120°的粒子通過磁場(chǎng)后能打到MN板上．
（3）從磁場(chǎng)圓弧邊界出來的粒子通過磁場(chǎng)的時(shí)間最長(zhǎng)：
$t=\frac{πL}{3v}$
答：（1）所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{mv}{qB}$；
（2）入射的方向與直線邊界之間的夾角是0～120°的粒子通過磁場(chǎng)后能打到MN板上；
（3）粒子通過磁場(chǎng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{πL}{3v}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圓問題，關(guān)鍵是畫出臨界軌跡，結(jié)合臨界軌跡分析，基礎(chǔ)題目．