Question

7．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABCD矩形區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場（OD邊上無磁場，OA邊上有磁場），其中A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，a）和（0，-a），B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{3}$a，a）和（$\sqrt{3}$a，-a）；在半徑為a、圓心坐標(biāo)為（-a，0）的圓形區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B₀的勻強(qiáng)磁場，兩個區(qū)域內(nèi)磁場方向均垂直紙面向里．在-a≤x≤0的區(qū)域均勻分布有大量質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的粒子，粒子均以相同的速度沿y軸正方向射向圓形磁場，最后粒子都進(jìn)入矩形磁場，已知朝著圓心（-a，0）射入的粒子剛好從O點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入矩形磁場．不計粒子的重力及粒子間的相互作用．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場時速度v的大��；
（2）從B點(diǎn)射出的粒子在射入矩形磁場時的速度方向與y軸正方向夾角θ；
（3）從AB邊射出的粒子數(shù)與粒子總數(shù)的比值k．

Answer 1

分析 （!）粒子僅在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可求出運(yùn)動的半徑大�。�再根據(jù)幾何關(guān)系，聯(lián)立求得粒子進(jìn)入磁場時的速度；
（2）先證明射入圓形磁場的粒子從O點(diǎn)進(jìn)入矩形磁場區(qū)域，在矩形磁場區(qū)域中由半徑公式$R=\frac{mv}{qB}$，在矩形磁場中做圓周運(yùn)動的半徑是圓形磁場中圓周遠(yuǎn)動半徑的2倍，
即R′=2a，作出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出角度
（3）求出粒子恰好從B點(diǎn)射出時與y軸的夾角θ，當(dāng)夾角小于等于θ時，有粒子從AB邊射出，再求出從B點(diǎn)射出的粒子進(jìn)入圓形磁場的位置x，再求出比值$k=\frac{|x|}{a}$，

解答 解：（1）根據(jù)題意，朝著圓形磁場圓心（-a，0）射入的粒子剛好從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸進(jìn)入矩形磁區(qū)域，則其在圓形磁場內(nèi)的軌跡恰為四分之一圓周，有：$qv•（2{B_0}）=m\frac{v^2}{R}$…①
R=a…②
聯(lián)解①②得：$v=\frac{{2aq{B_0}}}{m}$…③
（2）設(shè)某粒子從圓形磁場邊界上的P點(diǎn)射入，并從Q點(diǎn)射出，軌跡如圖甲所示，圓心為O₁，圓形磁場的圓心為O₂，則O₂Q=O₂P=O₁Q=O₁P=a，即四邊形O₁QO₂P為菱形，O₂Q∥PO₁∥x軸，故Q點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，即射入圓形磁場的粒子均從O點(diǎn)進(jìn)入矩形磁場的第一象限區(qū)域內(nèi)（包括x軸正方向）．
…④
粒子在矩形磁場中受洛倫茲力作用做圓周運(yùn)動，設(shè)其軌道半徑為R′，有：$q{B_0}v=m\frac{v^2}{R'}$…⑤
解⑤得：R'=2a…⑥
由幾何關(guān)系知：$\overline{OC}=\overline{BC}=2a$…⑦
即粒子從B點(diǎn)離開矩形磁場時對應(yīng)的軌跡圓心為C點(diǎn)，作出軌跡如圖乙所示．

由圖乙?guī)缀侮P(guān)系知：∠OCD=θ…⑧
$sin∠OCD=\frac{{\overline{OD}}}{{\overline{OC}}}$…⑨
聯(lián)解⑧⑨得：
θ=30°…⑩
（3）根據(jù)圖乙知，粒子能從AB邊射出，則其射入矩形磁場的速度方向與y軸正方向的夾角應(yīng)小于或等于θ．根據(jù)圓周運(yùn)動的對稱性，則從B點(diǎn)射出的粒子射入圓形磁場位置的橫坐標(biāo)為：x'=-R（1-cosθ）…⑪
$k=\frac{{|{x'}|}}{a}$…⑫
聯(lián)解⑪⑫得：$k=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$…⑬
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時速度v的大小為$\frac{2aq{B}_{0}^{\;}}{m}$；
（2）從B點(diǎn)射出的粒子在射入矩形磁場時的速度方向與y軸正方向夾角θ為30°；
（3）從AB邊射出的粒子數(shù)與粒子總數(shù)的比值k為$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動，第一問很基礎(chǔ)，第二問有一定的難度，關(guān)鍵是找出粒子進(jìn)入矩形磁場的位置，關(guān)鍵作出軌跡圖，確定圓心、半徑和圓心角，本題對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．