Question

5．如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的木板A放置在水平地面上，木板的兩端分別放置著B．C兩小塊，三者質(zhì)量分別為m_A=3m．m_B=2m和m_c=m，A與地面、B與A、C與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為$\frac{μ}{6}$、μ和2μ，開(kāi)始時(shí)三者均靜止，現(xiàn)給物塊B一水平向右的初速度v₀（v₀=$\sqrt{\frac{5μgL}{8}}$），同時(shí)給物塊C一向左的水平拉力F（F=3μmg），設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，試求：
（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間木板A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至B與C相遇的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）先求出各接觸面上的最大靜摩擦力，B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，假定把A與C看成整體，通過(guò)分析受力判斷出A處于靜止?fàn)顟B(tài)．由牛頓第二定律求出B和C的加速度，當(dāng)B的速度減為零時(shí)，分析可以知道C對(duì)A的摩擦力大于地面對(duì)A的最大靜摩擦力，此時(shí)A和B共同向左運(yùn)動(dòng)，由速度公式求時(shí)間．
（2）分析三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，分段求出各自的位移，結(jié)合位移關(guān)系求從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至B與C相遇的時(shí)間．

解答 解：（1）各接觸面上的最大靜摩擦力分別為：f_Am=$\frac{1}{6}$μ×6mg=μmg，f_Bm=f_Cm=2μmg
B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，假定把A與C看成整體，整體水平方向所受合力為零，而：F=3μmg＞f_Bm
故開(kāi)始時(shí)C向左運(yùn)動(dòng)，A扔處于靜止?fàn)顟B(tài)
設(shè)此時(shí)B、C的加速度大小分別為a_B、a_C．
由牛頓第二定律：
對(duì)B有：2μmg=2ma_B
對(duì)C有：3μmg-2μmg=ma_C
解得：a_B=a_C=μg
當(dāng)B的速度減為零時(shí)，分析可以知道C對(duì)A的摩擦力大于地面對(duì)A的最大靜摩擦力，此時(shí)A和B共同向左運(yùn)動(dòng)，因此A由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)需經(jīng)過(guò)時(shí)間為：
   t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$．
（2）設(shè)A板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前B、C的位移大小分別為x_B、x_C，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到：
   x_B=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{5L}{16}$
因B和C的運(yùn)動(dòng)反向?qū)ΨQ，故x_C=x_B=$\frac{5L}{16}$
且B的速度減為零時(shí)，C的速度 v_C=v₀
A與B共同向左作勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)A、B整體，由牛頓第二定律可得：
     a_AB=$\frac{2μmg-\frac{1}{6}×6μmg}{5m}$=$\frac{1}{5}$μg
設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間t，B與C相遇，此過(guò)程中B、C所運(yùn)動(dòng)的位移分別為x_B′、x_C′，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以得到：
  x_C′-x_B′=L-x_B-x_C
即：v₀t+$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{AB}{t}^{2}$=L-2×$\frac{5L}{16}$
把L=$\frac{8{v}_{0}^{2}}{5μg}$代入上式可以得到：2（μg）²t²+5μgv₀t-3${v}_{0}^{2}$=0
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．
答：
（1）經(jīng)過(guò)$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$時(shí)間木板A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至B與C相遇的時(shí)間是$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，分段運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行研究，分析時(shí)要注意判斷A的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．