Question

3．如圖所示，A，B是一對平行的間距足夠大的金屬板，在兩板間加一周期為T的交變電壓，若兩板間距為d，電壓U_BA隨時間變化周期為T，在t=0時，電子由A板從靜止開始向B板運(yùn)動，并于t=2T時刻恰好到達(dá)B板．求：
（1）若電子t=$\frac{T}{6}$時刻才從A板開始運(yùn)動，再經(jīng)過2T時間，它將運(yùn)動到離A板多遠(yuǎn)的地方？
（2）若電子t=$\frac{T}{6}$時刻才從A板開始運(yùn)動，需要再經(jīng)過多長時間才能到達(dá)B板？

Answer 1

分析 帶電粒子在兩板之間電壓Uab按圖所示規(guī)律變化的電場中受到電場力作用，從而做勻變速運(yùn)動．當(dāng)a板從靜止開始向b板運(yùn)動，并于t=nT（n為自然數(shù)）時刻，恰好到達(dá)b板．則當(dāng)t=$\frac{T}{6}$時刻才開始從a板運(yùn)動，那么經(jīng)過同樣長的時間，前一段時間是先勻加速后勻減速，后一段時間回頭勻加速，所以兩段時間內(nèi)的位移之差即為粒子離開a板的距離．由此可知最后一個周期尚未結(jié)束就已碰到b板，則可由運(yùn)動學(xué)公式算出碰b板后的時間，從而再減去這個時間

解答 （1）設(shè)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的加速度為a，前半個周期為加速運(yùn)動，后半個周期為減速運(yùn)動，所以a、b間距離為：
d=4s=4×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$=$\frac{a{T}^{2}}{2}$…①
若粒子在t=$\frac{T}{6}$時刻開始從a板運(yùn)動，該粒子向b 板運(yùn)動的距離為：
x₁=4×$\frac{1}{2}a{（\frac{T}{3}）}^{2}=\frac{2a{T}^{2}}{9}$．
在電場力作用下返回a 板的距離為：
x₂=4×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{a{T}^{2}}{18}$，
該粒子向b板運(yùn)動的位移為：
x=x₁-x₂=$\frac{a{T}^{2}}{6}$
所以①÷②得：x=$\fracm6ig11m{3}$
（2）最后一個周期尚未結(jié)束就已經(jīng)碰到b板，則該粒子除去最后一個周期運(yùn)動時間t₁=（3n-1）T，最后一個周期中，粒子加速了 $\frac{T}{3}$，當(dāng)減速的 $\frac{T}{3}$未完成就已和b板相碰，計算時仍可按粒子向b板運(yùn)動了（ $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$）T的時間，再減去碰b板之后的時間，碰b板之后的時間可由粒子反向回b板的兩段距離（即反向加速 $\frac{T}{6}$及減速的 $\frac{T}{6}$距離）和粒子過b板直到末速度為零時的勻減速的位移相等而求得，即：
2×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{1}{2}$
解得：t₂=${t}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}T$
故粒子從a到b板的總時間為：t=t₁+t₂
得：t=5T+$\frac{2}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}$T=$\frac{17}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}T$
答：（1）若電子t=$\frac{T}{6}$時刻才從A板開始運(yùn)動，再經(jīng)過2T時間，它將運(yùn)動到離A板距離為$\frac6vvc36z{3}$
（2）若電子t=$\frac{T}{6}$時刻才從A板開始運(yùn)動，需要再經(jīng)過$\frac{17}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}T$時間才能到達(dá)B板

點評 由于粒子不是在電場中一直處于加速或減速，所以導(dǎo)致分析運(yùn)動較復(fù)雜．當(dāng)然第2個問題也可以假設(shè)b板向下移動到最后一個周期末速度為零的位置，這算出整段時間，再去移動距離的時間