Question

12．無線充電技術(shù)可以讓設(shè)備充電時擺脫電源線的束縛，其原理如圖所示：轉(zhuǎn)換器連接在墻壁的插座上，將電能轉(zhuǎn)化為電磁波；用電設(shè)備上的接收器捕獲電磁波，再將其轉(zhuǎn)化回電能，為設(shè)備充電．現(xiàn)用該裝置對質(zhì)量為m的電動小汽車充電，接收器和轉(zhuǎn)換器間距離為s₀，充電過程中電磁波轉(zhuǎn)化為電能的功率視作恒定，其轉(zhuǎn)化效率為η₁，經(jīng)時間t₀電池剛好被充滿．然后啟動小汽車，其電池將電能轉(zhuǎn)為機(jī)械能的效率為η₂，經(jīng)過一段足夠長的距離后耗盡電能，不計因摩擦和空氣阻力造成的機(jī)械能損耗．然后小汽車進(jìn)入一個半徑為R的豎直放置的光滑圓形軌道．安裝在軌道最高點的力傳感器顯示其所受壓力大小恰好等于小車重力．小汽車視為質(zhì)點，重力加速度為g．試求：

（1）小汽車在最高點的速度大小v；
（2）接收器接收到的電磁波的功率P；
（3）現(xiàn)將接收器和轉(zhuǎn)換器間距離改為s后繼續(xù)實驗，通過控制充電時間t可以保證小車不脫離軌道，試求時間t必須滿足的關(guān)系式（用題給物理量t₀、s₀、s表達(dá)）．

Answer 1

分析 （1）電動小車在最高點受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）根據(jù)機(jī)械能定義求解出小車的機(jī)械能，根據(jù)能量守恒定律列式求解接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）小車不脫離軌道，有兩種可能：做完整的圓周運(yùn)動或者未到高度R而原路返回；根據(jù)能量守恒定律列式分析即可．

解答 解：（1）在最高點，有 mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又F_N=mg
  可得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）小車從水平軌道到最高點滿足機(jī)械能守恒，即在水平軌道上的動能為：
 E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²
解得：E_k=3mgR
小車電池將電能耗盡，部分轉(zhuǎn)化為小車的機(jī)械能，即：E_k=Pt₀η₁η₂
故可得：P=$\frac{3mgR}{η{\;}_{1}η{\;}_{2}{t}_{0}}$
（3）小車不脫離軌道有兩種可能情況：①做完整的圓周運(yùn)動；②未到高度R即原路返回．
①做完整的圓周運(yùn)動，若恰好達(dá)到軌道最高點，則：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
從水平軌道到最高點滿足機(jī)械能守恒：E_k1=mg（2R）+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
又E_k1=P₁tη₁η₂
由以上各式可得：$\frac{{E}_{K}}{{E}_{K1}}$=$\frac{P{t}_{0}}{{P}_{1}t}$=$\frac{3mgR}{\frac{5}{2}mgR}$
因為電磁波是球面波，故接收器收到的功率與距離s的平方成反比：$\frac{P}{{P}_{1}}$=$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
綜上所述可得：t=$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，此時恰到達(dá)最高點，故能通過最高點的條件是：t≥$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．
考慮到電池充滿時間：P₁t≤Pt₀，可得 t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
②未到高度R即原路返回
若恰好上升高度為R，則：E_k2=mgR，又E_k2=P₂tη₁η₂
由以上各式可得：$\frac{{E}_{K}}{{E}_{K2}}$=$\frac{P{t}_{0}}{{P}_{2}t}$=$\frac{3mgR}{mgR}$，故：t=$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
即此時恰到上升高度R，故此情況下應(yīng)滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，可見電池并未充滿電．
綜上，若滿足：t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$ 或$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$≤t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，則小車不會脫離軌道．
答：（1）電動小車在最高點的速度大小v為$\sqrt{2gR}$；
（2）此次實驗中接收器接受到的超聲波的功率P為$\frac{3mgR}{η{\;}_{1}η{\;}_{2}{t}_{0}}$；
（3）若小車不脫離軌道，充電時間t與接收器和電流轉(zhuǎn)換器間距離，應(yīng)滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$ 或$\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$≤t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．

點評 本題關(guān)鍵明確小車的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律列式求解；第三問要注意分完整圓周運(yùn)動和不完整圓周運(yùn)動進(jìn)行分析．