Question

13．如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E=$\frac{π}{10}$×10⁴N/C，現(xiàn)將一重力不計(jì)，$\frac{q}{m}$×10⁶C/kg的正電荷從電場中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過t₀=1×10^-5s后，通過MN上的P點(diǎn)進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場．磁場方向垂直于紙面向外，以電荷第一次通過MN時(shí)開始計(jì)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律周期性變化．

（1）求電荷進(jìn)入磁場時(shí)的速度；
（2）求圖乙中t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的距離；
（3）如果在P點(diǎn)右方d=100cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到擋板所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電荷在電場中做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合可求出電荷進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₀．
（2）電荷進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，分別求出電荷在磁場中運(yùn)動的半徑和周期，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求出t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的水平距離．
（3）電荷在周期性變化的磁場中運(yùn)動，根據(jù)周期性分析電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動的完整周期數(shù)，即可求出荷沿MN運(yùn)動的距離．根據(jù)電荷擋板前的運(yùn)動軌跡，求出其運(yùn)動時(shí)間，即得總時(shí)間．

解答 解：（1）電荷在電場中做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)其在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t₁，有：
v₀=at₀ 
Eq=ma
解得：${v}_{0}=\frac{qE}{m}•{t}_{0}=\frac{q}{m}•E{t}_{0}=1{0}^{6}×\frac{π}{10}×1{0}^{4}×1×1{0}^{-5}m/s$=π×10⁴m/s；          
（2）當(dāng)磁場垂直紙面向外${B}_{1}=\frac{π}{20}$T時(shí)，電荷運(yùn)動的半徑：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：r₁=0.2m
周期為：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：${T}_{1}=4×1{0}^{-5}$s
當(dāng)磁場${B}_{2}=\frac{π}{10}$時(shí)，電荷運(yùn)動的半徑為：${r}_{2}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：r₂=0.1m
周期為：${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：${T}_{2}=2×1{0}^{-5}$s  
故電荷從t=0時(shí)刻開始做周期性運(yùn)動，其運(yùn)動軌跡如圖所示．

t=2×10^-5s時(shí)刻電荷先沿大圓軌跡運(yùn)動四分之一周期，然后再沿小圓弧運(yùn)動半個(gè)周期，與P點(diǎn)的水平距離：△d=r₁=0.2m；  
（3）電荷從第一次通過MN開始，其運(yùn)動的周期為：T=6×10^-5 s，每一個(gè)周期內(nèi)沿PN的方向運(yùn)動的距離為0.4=40cm，故電荷到達(dá)擋板前運(yùn)動的完整的周期數(shù)為2個(gè)，沿PN方向運(yùn)動的距離為80cm，最后20cm的距離如圖所示，正電荷垂直撞擊到擋板上，有：
 故電荷運(yùn)動的總時(shí)間：${t}_{總}={t}_{0}+2T+\frac{1}{4}{T}_{1}$
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{總}=1.4×1{0}^{-5}$s
答：（1）電荷進(jìn)入磁場時(shí)的速度為π×10⁴m/s．（2）t=2×10^-5s時(shí)刻電荷與P點(diǎn)的水平距離為20cm．（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到擋板所需的時(shí)間為1.4×10^-4s．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在電場和磁場中運(yùn)動的問題，電荷在電場中運(yùn)動時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合研究是最常用的方法，也可以由動量定理處理．電荷在周期性磁場中運(yùn)動時(shí)，要抓住周期性即重復(fù)性進(jìn)行分析，根據(jù)軌跡求解時(shí)間．