Question

“嫦娥工程”是我國邁出航天深空探測第一步的重大舉措，實(shí)現(xiàn)月球探測將是我國航天深空探測零的突破．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．根據(jù)以上所給出的條件，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）若飛船繞月球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船繞月球運(yùn)動(dòng)的最小周期T_min？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．
（2）飛船的環(huán)繞半徑等于月球半徑時(shí)有最小周期，根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解．

解答：解：（1）在月球表面以速度v₀向上拋出小球，月球表面的重力加速度為g
v₀=

1

2

gt        （1）
由在月球表面物體的重力等于萬有引力
mg=

GMm

R2

      （2）
由（1）、（2）解得：M=

2v0R2

Gt

（2）飛船的環(huán)繞半徑等于月球半徑時(shí)有最小周期，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：

GMm

R2

=m(

2π

Tmin

)2R  （3）
將M=

2v0R2

Gt

帶入（3）式，解得
Tmin=π

2tR v0

      
答：（1）月球的質(zhì)量M為

2v0R2

Gt

；
（2）若飛船繞月球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船繞月球運(yùn)動(dòng)的最小周期為π

2tR v0

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進(jìn)行列式求解．