Question

8．如圖所示，在xOy平面第Ⅰ象限存在沿y軸正方向的勻強電場，電場強度為E．一個電子沿x軸正方向的初速度v₀從y軸上的A點進入勻強磁場，從C點進入第Ⅳ象限．已知A點坐標為（0，$\frac{3}{2}$b），C的坐標為（$\sqrt{3}$b，0）．
（1）求電子的比荷$\frac{e}{m}$；
（2）在第Ⅳ象限的合適位置加上一個磁感應(yīng)強度為B₀的矩形勻強磁場區(qū)域，使得從C點進入第Ⅳ象限的電子通過所加的勻強磁場恰好沿著平行于x軸正方向射出．求：磁感應(yīng)強度的方向？電子在勻強磁場中運動的時間t和所加磁場區(qū)域的最小矩形面積s？

Answer 1

分析 （1）電子在電場中做類似平拋運動，根據(jù)類似平拋運動的分運動公式列式求解電子的比荷$\frac{e}{m}$；
（2）電子進入第四象限后現(xiàn)在勻速運動后做勻速圓周運動，畫出軌跡，找到圓心，根據(jù)幾何關(guān)系列式求解出半徑；然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解磁感應(yīng)強度，最后根據(jù)軌跡得到磁場最小面積．

解答 解：（1）電子做類似平拋運動，水平方向：${v}_{0}t=\sqrt{3}b$
豎直方向：$a=\frac{eE}{m}$，$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{3}{2}b$
解得：$\frac{e}{m}=\frac{{v}_{0}^{2}}{Eb}$
（2）經(jīng)過C點時：${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{\sqrt{3}b}{{v}_{0}}=\sqrt{3}{v}_{0}$
速度大小為：${v}_{C}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+（at）^{2}}$=2v₀
與水平方向夾角為：$θ=arctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=arctan\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{{v}_{0}}═60°$
電子進入第四象限先做勻速直線運動，進入磁場后做勻速圓周運動，電子向右偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知，磁場的方向向外．電子利用磁場速度偏轉(zhuǎn)角為60°．
電子運動的周期：$T=\frac{2πm}{e{B}_{0}}=\frac{2πEb}{{B}_{0}{v}_{0}^{2}}$
電子在磁場中運動的時間：$t′=\frac{60°}{360°}•T=\frac{1}{6}T$=$\frac{πEb}{3{B}_{0}{v}_{0}^{2}}$
由幾何關(guān)系可得所加磁場區(qū)域的最小矩形面積對應(yīng)的磁場的矩形磁場的對角線等于電子的軌道的半徑，由洛倫茲力提供向心力得：$e{v}_{c}{B}_{0}=\frac{m{v}_{c}^{2}}{r}$，
所以：$r=\frac{m{v}_{c}}{e{B}_{0}}=\frac{2m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$=$\frac{2Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
矩形的長度：${L}_{1}=r•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
矩形的寬度：${L}_{2}=r（1-cos60°）=\frac{1}{2}r=\frac{Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
所加磁場區(qū)域的最小矩形面積為：S_m=L₁•L₂=$\frac{\sqrt{3}{E}^{2}^{2}}{{B}_{0}^{2}{v}_{0}^{2}}$
答：（1）電子的比荷$\frac{e}{m}=\frac{{v}_{0}^{2}}{Eb}$；
（2）磁感應(yīng)強度的方向向外，電子在勻強磁場中運動的時間t是$\frac{πEb}{3{B}_{0}{v}_{0}^{2}}$，所加磁場區(qū)域的最小矩形面積是$\frac{\sqrt{3}{E}^{2}^{2}}{{B}_{0}^{2}{v}_{0}^{2}}$．

點評 本題關(guān)鍵是找出電子的運動規(guī)律，畫出軌跡圖，然后分階段根據(jù)類似平拋運動的分運動公式和洛倫茲力提供向心力列式求解．