Question

8．如圖所示，金屬導(dǎo)軌ADM、BCN固定在傾角為θ=30°的斜面上．虛線AB、CD間導(dǎo)軌光滑，ABCD為等腰梯形，AB長為L，CD長為2L，CB、NC夾角為θ；虛線CD、MN間為足夠長且粗糙的平行導(dǎo)軌．導(dǎo)軌頂端接有阻值為R的定值電阻，空間中充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀、方向垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)從AB處由靜止釋放一質(zhì)量為m、長為2L的導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度不為零，導(dǎo)體棒始終水平且與導(dǎo)軌接觸良好．已知導(dǎo)體棒與粗糙導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，導(dǎo)體棒及導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大加速度大��；
（2）導(dǎo)體棒在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中通過定值電阻的電荷量；
（3）當(dāng)μ=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$時(shí)，導(dǎo)體棒的最終速度大�。�

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受安培力，阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故剛釋放時(shí)加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）導(dǎo)體棒在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律列式求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)q=It、I=$\frac{E}{R}$聯(lián)立求解電荷量；
（3）導(dǎo)體棒最終勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件求解安培力，根據(jù)安培力公式、切割公式和歐姆定律列式后求解最終速度大�。�

解答 解：（1）剛釋放時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：mgsinθ=ma，
解得：a=gsinθ=$\frac{g}{2}$；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{{B}_{0}S}{△t}$，
電荷量：q=I•△t=$\frac{{B}_{0}S}{R}$，
其中：S=$\frac{1}{2}×（L+2L）×\frac{L}{2}tan30°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{L}^{2}$，
聯(lián)立解得：q=$\frac{\sqrt{3}{B}_{0}{L}^{2}}{4R}$；
（3）導(dǎo)體棒在粗糙導(dǎo)軌上的滑動(dòng)摩擦力為：
f=μmgcosθ=$\frac{4\sqrt{3}}{9}mg×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{3}mg$，
重力平行導(dǎo)軌的分力為：
G₁=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$，
由于f＞G₁，故棒最終會(huì)靜止在導(dǎo)軌上，最終的速度大小為0．
答：（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大加速度大小為$\frac{g}{2}$；
（2）導(dǎo)體棒在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中通過定值電阻的電荷量為$\frac{\sqrt{3}{B}_{0}{L}^{2}}{4R}$；
（3）當(dāng)μ=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$時(shí)，導(dǎo)體棒的最終速度大小為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滑桿問題，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切割公式、歐姆定律公式、安培力公式、牛頓第二定律公式，注意求解電荷量時(shí)要用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值進(jìn)行計(jì)算．