Question

16．2016年9月15日22時04分12秒，“天宮二號”空間實驗室在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功．經(jīng)北京航天飛行控制中心兩次軌道控制后，進入距地面為393km的軌道上繞地球做勻速圓周運動，運行周期為90min鐘．若還知道地球的半徑和萬有引力常量，僅利用以上條件能求出的是（　�。�

• A． 地球的平均密度
• B． 地球自轉(zhuǎn)的周期
• C． 天宮二號的質(zhì)量
• D． 地球的第一宇宙速度

Answer 1

分析 “天宮二號”繞地球的運動可看做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，根據(jù)密度公式求出密度；根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=\frac{GMm}{R^2}$，根據(jù)以上二式可以計算出地球的質(zhì)量M和地球表面重力加速度g．

解答 解：A、據(jù)題意，令“天宮二號”衛(wèi)星的運行周期為T、離地面高度為h、地球半徑為R、萬有引力常量為G，設地球的質(zhì)量為M．“天宮二號”繞地球的運動可看做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，
得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$
地球的密度：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
G、T、R、h都已知，所以能求出地球的密度．故A正確；
B、地球的自轉(zhuǎn)周期與萬有引力之間沒有關(guān)系，與天宮二號的速度也無關(guān)，所以根據(jù)以上的條件不能求出地球的自轉(zhuǎn)周期．故B錯誤；
C、在萬有引力提供向心力的表達式中，等式的兩邊都有天宮二號的質(zhì)量，所以不能求出天宮二號的質(zhì)量．故C錯誤；
D、根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：$mg=\frac{GMm}{R^2}$，
得$g=\frac{GM}{R^2}=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$，
則第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$．故D正確；
故選：AD

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關(guān)系，要知道環(huán)繞天體的質(zhì)量無法計算，只能計算中心天體的質(zhì)量．