Question

如圖所示，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場E與勻強(qiáng)磁場B₁，E的大小為0.5×10³V/m，B₁大小為0.5T；第一象限的某個區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₂，磁場B₂的下邊界與x軸重合．大量的質(zhì)量m=1×10^-14kg、電荷量q=1×10^-10C的帶正電微粒，以某一速度v沿與y軸正方向60°角，從y軸OM間進(jìn)入B₁場，一段時間后，所有的微粒都通過第一象限中的某一點(diǎn)．已知微粒在B₁場中沿直線運(yùn)動，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10）．不計(jì)粒子重力，g取10m/s²．
（1）請分析判斷勻強(qiáng)電場E₁的方向并求出微粒的運(yùn)動速度v；
（2）勻強(qiáng)磁場B₂的大小為多大？
（3）B₂磁場區(qū)域的最小面積為多少？

Answer 1

分析：（1）不計(jì)粒子重力，微粒在第四象限內(nèi)僅受電場力和洛倫茲力而做直線運(yùn)動，粒子必定做勻速直線運(yùn)動，電場力和洛侖茲力相互平衡，根據(jù)左手定則判斷出洛倫茲力方向，確定電場強(qiáng)度E₁的方向，由平衡條件求解微粒的運(yùn)動速度v；
（2）畫出微粒的運(yùn)動軌跡與磁場的幾何圖．根據(jù)幾何知識求出粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑，由牛頓第二定律求解勻強(qiáng)磁場B₂的大小．
（3）磁場B₂的最小區(qū)域應(yīng)該分布在微粒的運(yùn)動軌跡與磁場兩圓的公共部分的面積，根據(jù)幾何知識求出B₂磁場區(qū)域的最小面積．

解答：解：（1）由題，粒子重力忽略不計(jì)，微粒在第四象限內(nèi)僅受電場力和洛倫茲力，且微粒做直線運(yùn)動，速度的變化會引起洛侖茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運(yùn)動．這樣，電場力和洛侖茲力大小相等，方向相反，由左手定則可知，粒子所受的洛倫茲力方向與微粒運(yùn)動的方向垂直，即與y軸負(fù)方向成30°角斜向上，則知電場E的方向與微粒運(yùn)動的方向垂直，即與y軸負(fù)方向成30°角斜向下．
由力的平衡有     Eq=B₁qv
∴v=

E

B1

=

0.5×103

0.5

m/s=10³m/s
（2）畫出微粒的運(yùn)動軌跡與磁場的幾何圖．

由幾何關(guān)系可知粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑為　R=

3

20

m
 qv₂B=m

v2

R

解之得B2=

2

3

3

T
（3）由幾何可知，磁場B₂的最小區(qū)域應(yīng)該分布在圖示的兩圓的公共部分的面積．
所以，所求磁場的最小面積為
S=2(

1

4

πR2-

R2

2

)=

3(π-2)

800

m2
答：
（1）勻強(qiáng)電場E₁的方向與y軸負(fù)方向成30°角斜向下．微粒的運(yùn)動速度v是10³m/s；
（2）勻強(qiáng)磁場B₂的大小為

2

3

3

T．
（3）B₂磁場區(qū)域的最小面積為

3(π-2)

800

m2．

點(diǎn)評：本題中第四象限中電磁場相當(dāng)于速度選擇器，射入第一象限的所有粒子的速度是一定的．本題畫出粒子的軌跡是解題的關(guān)鍵．