Question

19．截面為矩形的透明材料ABCD，P、Q分別為AB、AD上的兩點(diǎn)，已知A、P距離為a，A、Q距離為2a，現(xiàn)有一細(xì)束光線從P點(diǎn)以某一入射角θ（未知）射入該材料，經(jīng)折射后到達(dá)Q點(diǎn)，且在Q點(diǎn)剛好能發(fā)生全反射．
（�。┣蟛牧系恼凵渎蕁
（ ii）改變光線從AB面P點(diǎn)射入時(shí)的入射角，求光線從AD邊射出的區(qū)域長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （i）光線在Q點(diǎn)剛好能發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，由折射定律得到光線在AB面上入射角和折射角的關(guān)系．根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$及幾何關(guān)系結(jié)合求解．
（ii）分析知Q點(diǎn)即為射出區(qū)域的最下邊的點(diǎn)，而當(dāng)AB面射入時(shí)的入射角趨于90°時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)光線射到M點(diǎn)，即為射出區(qū)域的最上邊的點(diǎn)．根據(jù)幾何知識(shí)求解．

解答 解：（i）在AB面上折射時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)的入射角為θ，折射角為r₁，由折射定律得：
   n=$\frac{sinθ}{sin{r}_{1}}$
由幾何關(guān)系有：sinr₁=$\frac{\overline{AP}}{\overline{PQ}}$=$\frac{\overline{AP}}{\sqrt{{\overline{AP}}^{2}+{\overline{AQ}}^{2}}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
又在Q點(diǎn)剛好發(fā)生全反射，設(shè)臨界角為C，有：
 r₁+C=90°
又sinC=$\frac{1}{n}$
聯(lián)立得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{cos{r}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}{r}_{1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
（ii）分析知Q點(diǎn)即為射出區(qū)域的最下邊的點(diǎn)，而當(dāng)AB面射入時(shí)的入射角趨于90°時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)光線射到M點(diǎn)，即為射出區(qū)域的最上邊的點(diǎn)．設(shè)此時(shí)在AB邊上對(duì)應(yīng)的折射角為C．
則有：$\overline{AM}$=$\overline{AP}$cotC
故區(qū)域長(zhǎng)度為：$\overline{MQ}$=$\overline{AQ}$-$\overline{AM}$
解得：$\overline{MQ}$=1.5a
答：（�。┎牧系恼凵渎蕁是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（ ii）改變光線從AB面P點(diǎn)射入時(shí)的入射角，光線從AD邊射出的區(qū)域長(zhǎng)度是1.5a．

點(diǎn)評(píng) 本題是全反射、折射定律、臨界角等知識(shí)的綜合應(yīng)用，首先要正確作出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)研究折射角的正弦．掌握臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，結(jié)合全反射條件分析這類問(wèn)題．