Question

7．小船要在平直河道中渡到對(duì)岸，河寬為300m，水流速度是6m/s（假設(shè)河兩邊的流速與河中央的流速一樣大），小船在靜水中的航速是10m/s．（cos53°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）要使小船渡河時(shí)間最少，渡河最短時(shí)間為多少？
（2）要使小船渡河航程最短，小船船頭方向與河岸上游的夾角為多少度？
（3）如果另一小船要在該河道渡河，該船在靜水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，該小船船頭方向與河岸上游的夾角為多少度？渡河最短航程為多少？

Answer 1

分析 （1）、船頭始終垂直與河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可得知渡河的最短時(shí)間．
（2）、當(dāng)船的合速度方向垂直于河岸時(shí)，船能垂直渡河，對(duì)船在靜水中的速度進(jìn)行正交分解，即可得知小船船頭方向與河岸上游的夾角．
（3）、當(dāng)船在靜水中的速度要與合速度垂直時(shí)，合速度與河岸的夾角最大，此時(shí)渡河位移最短，由幾何關(guān)系可得知小船船頭方向與河岸上游的夾角及渡河最短航程．

解答 解：（1）、當(dāng)船頭始終垂直于河岸航行時(shí)，渡河時(shí)間最短．有：
t=$\fraczp57jlx{{v}_{靜}}$=$\frac{300}{10}$=30s
（2）、要使小船渡河航程最短，就是使得船的合速度垂直于河岸，此時(shí)，船在靜水中的速度沿河岸的分量與水流的速度大小相等，方向相反，設(shè)小船船頭方向與河岸上游的夾角為θ，如圖1所示，有：
v_靜cosθ=v_水
得：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{靜}}$=$\frac{6}{10}$=0.6
得：θ=53°
（3）、另一小船要在該河道渡河，該船在靜水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，船在靜水中的速度要與合速度垂直，設(shè)此時(shí)小船船頭方向與河岸上游的夾角為α，如圖2所示，則有：
cosα=$\frac{{v}_{靜}^{′}}{{v}_{水}}$=$\frac{4.8}{6}$=0.8
得：α=37°
由幾何關(guān)系可得最短航程為：s=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{靜}^{′}}$d=$\frac{6}{4.8}$×300=375m
答：（1）要使小船渡河時(shí)間最少，渡河最短時(shí)間為30s．
（2）要使小船渡河航程最短，小船船頭方向與河岸上游的夾角為53°．
（3）如果另一小船要在該河道渡河，該船在靜水中的航速是4.8m/s，要使渡河航程最短，該小船船頭方向與河岸上游的夾角為37°，渡河最短航程為375m

點(diǎn)評(píng) 該題通過渡河的模型考察了運(yùn)動(dòng)的合成與分解，關(guān)于渡河問題，應(yīng)注意幾種渡河方式：
一是垂直渡河，此時(shí)渡河位移最短，但是所用時(shí)間不是最短的，此種情況要求船的合速度與河岸垂直，
二是船頭始終指向?qū)Π兜亩珊�，此種情況下渡河時(shí)間最短，但是渡河位移不是最短；
關(guān)于渡河問題，還要會(huì)判斷能否垂直渡河，其條件是船在靜水中的速度大小要大于河水流動(dòng)的速度大�。�