Question

19．如圖所示，光滑水平面AB與半徑為R=1m的豎直光滑半圓軌道平滑銜接，一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球在A處與一壓縮彈簧靠在一起（不連接），釋放小球后，小球開始向右運(yùn)動(dòng)，與彈簧分離后，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的8倍，之后沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，重力的加速度為g=10m/s²，求：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能E_p；
（2）小球離開最高點(diǎn)C后落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離；
（3）若AB軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，在滿足第（1）問的前提下，要使小球能到達(dá)C點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）研究物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度，得到物體的動(dòng)能，物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律求解釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能E_p．
（2）小球從B到C，遵守機(jī)械能守恒定律，由此定律求出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度．小球離開最高點(diǎn)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求解落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離．
（3）求出小球能到達(dá)C點(diǎn)的臨界速度，然后應(yīng)用能量守恒定律求出AB間的距離，再分析答題．

解答 解：（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；
由題意：F_N=8mg
聯(lián)立解得：v_B=$\sqrt{7gR}$=$\sqrt{70}$m/s；
根據(jù)能量守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能：
 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×70$J=35J
（2）小球從B到C，由機(jī)械能守恒定律，得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{30}$m/s
小球離開最高點(diǎn)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，則得：
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x=v_Ct
解得 x=2$\sqrt{3}$m
（3）若小球恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在C點(diǎn)重力提供向心力，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由能量守恒定律得：
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²+μmgs+2mgR，代入數(shù)據(jù)解得：s=4m
故要使小球能到達(dá)C點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度應(yīng)該滿足的條件為s≤4m
答：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能E_p是35J．
（2）小球離開最高點(diǎn)C后落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離是2$\sqrt{3}$m．
（3）要使小球能到達(dá)C點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度應(yīng)該滿足的條件為s≤4m．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)綜合題，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握各個(gè)狀態(tài)和過(guò)程的規(guī)律，應(yīng)用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．