Question

8．如圖所示，兩平行金屬導(dǎo)線MN、PQ固定在一絕緣水平面內(nèi)，導(dǎo)軌電阻不計，間距為L，導(dǎo)軌平面處在一方向豎直向下的磁場中，兩端M、P之間連接一阻值為R的定值電阻，質(zhì)量為m、阻值為r的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌放置，且距MP端也為L，現(xiàn)對導(dǎo)體棒施加一水平外力，使之從靜止開始以加速度a沿x軸的正方向運動，設(shè)棒的初始位置為坐標(biāo)原點，平行導(dǎo)軌向右為x軸正方向，棒剛運動開始計時，試求：
（1）若初始磁場的磁感應(yīng)強度大小為B₀，為使棒在運動過程中始終無感應(yīng)電流產(chǎn)生，則B隨坐標(biāo)x變化的規(guī)律；
（2）若磁場的磁感應(yīng)強度隨時間變化的規(guī)律為B′=kt（k為正常數(shù)），則運動的棒在t₁時刻受到的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）在閉合電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件是：穿過閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化，則要使棒在運動過程中始終無感應(yīng)電流產(chǎn)生，意味著穿過閉合導(dǎo)體回路的磁通量始終不發(fā)生變化，由此可推導(dǎo)出B隨x變化的規(guī)律
（2）在導(dǎo)體棒運動時，閉合電路中既有導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也有因磁場變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，求出兩種情況下感應(yīng)電動勢之后，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，即可根據(jù)安培力計算公式求解出t₁時刻的安培力

解答 解：（1）設(shè)時刻t金屬桿與初始位置的距離為x，為使桿運動過程中始終無感應(yīng)電流產(chǎn)生，只需回路中磁通量保持不變，則B₀L²=BL（L+x），故B=$\frac{{B}_{0}L}{L+x}$
（2）經(jīng)t₁時間，桿的速度為v=at₁，x=$\frac{1}{2}\\;a{t}_{0}^{2}$at₁²
此時桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積S=L（L+x）=L（L+$\frac{1}{2}\\;a{t}_{0}^{2}$at₁²）
回路中的感應(yīng)電動勢E=S$\frac{△{B}^{/}}{△t}$+B′Lv
而B′=kt，故$\frac{△{B}^{/}}{△t}=k$
回路中的感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R+r}$
取棒為研究對象，由牛頓第二定律得：F-B′IL=ma
解得：F=$\frac{{k}^{2}{L}^{2}{t}_{1}}{2（R+r）}（2L+3a{t}_{1}^{2}）+ma$
答：（1）B隨坐標(biāo)x變化的規(guī)律為$\frac{{B}_{0}L}{L+x}$
（2）運動的棒在t₁時刻受到的拉力大小為$\frac{{k}^{2}{L}^{2}{t}_{1}}{2（R+r）}（2L+3a{t}_{1}^{2}）+ma$

點評 （1）本題考查了產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律及安培力的計算
（2）在導(dǎo)體棒運動時，閉合電路中既有導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也有因磁場變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，求出兩種情況下感應(yīng)電動勢之后，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，即可根據(jù)安培力計算公式求解出t₁時刻的安培力，屬于綜合性較強的問題