Question

10．隨著我國登月計劃的實施，我國宇航員在不久將登上月球．假如宇航員登上月球并在月球表面附近以初速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)時間t后回到出發(fā)點．已知月球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）月球表面的重力加速度．
（2）月球的質(zhì)量．
（3）在月球表面附近發(fā)射繞月球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的最小發(fā)射速度和運動周期．

Answer 1

分析 （1）（2）小球在月球表面做豎直上拋運動，由t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$出月球表面的重力加速度，物體在月球表面上時，由重力等于地月球的萬有引力求出月球的質(zhì)量．
（3）宇航員離開月球表面圍繞月球做圓周運動至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大�。�
宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動，根據(jù)重力提供向心力求得繞行周期．

解答 解：（1）根據(jù)豎直上拋運動規(guī)律，有：v₀=$\frac{gt}{2}$
得：月球表面的重力加速度為：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$．
（2）由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg解得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
（3）由mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{Rg}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$　
此即在月球表面附近發(fā)射繞月球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的最小速度，
衛(wèi)星的繞行周期為：T=$\frac{2πR}{v}$=π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{gt}{2}$．
（2）月球的質(zhì)量$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
（3）在月球表面附近發(fā)射繞月球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$，運動周期π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系物體運動和天體運動的橋梁．