Question

如圖所示，質(zhì)量為m的矩形線框MNPQ，MN邊長為a，NP邊長為b；MN邊電阻為R₁，PQ邊電阻為R₂，線框其余部分電阻不計(jì)．現(xiàn)將線框放在光滑絕緣的水平桌面上，PQ邊與y軸重合．空間存在一個(gè)方向垂直桌面向下的磁場，該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿y軸方向均勻，沿x軸方向按規(guī)律B_x=B₀（1-kx）變化，式中B₀和k為已知常數(shù)且大于零．矩形線框以初速度v₀從圖示位置向x軸正方向平動(dòng)．求：
（1）在圖示位置時(shí)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢以及感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）線框所受安培力的方向和安培力的表達(dá)式；
（3）線框的最大運(yùn)動(dòng)距離x_m；
（4）若R₁=2R₂，線框運(yùn)動(dòng)到

xm

2

過程中，電阻R₁產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

（1）E=

△Φ

△t

=ab

△B

△t

=ab

△B

△x

△x

△T

=kabv₀B₀
I=

E

R1+R2

=

kabv0B0

R1+R2

感應(yīng)電流方向沿：NPQMN
（2）線框受的安培力水平向左，安培力為：
F=aI△B=

k2a2 b2B 20

R1+R2

v
（3）根據(jù)牛頓第二定律知：
F=F₁-F₂=m

△v

△t

=-

(kabB0)2△x

(R1+R2)△t

其中m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

mv₀=

(kabB0)2xm

R1+R2

聯(lián)立解得x_m=

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

（4）由m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

得：
m（v-v₀）=-

(kabB0)2xm

2(R1+R2)

=-

1

2

mv0，v=

v0

2

Q=△E_K=

1

2

mv

20

-

1

2

m(

v

2

)2=

3

8

mv

20

電阻R₁產(chǎn)生的熱為
QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

4

mv

20

答：（1）在圖示位置時(shí)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢為kabv₀B₀
感應(yīng)電流的大小為

kabv0B0

R1+R2

，方向沿NPQMN；
（2）線框所受安培力的方向水平向左，安培力的表達(dá)式為

k2a2 b2B 20

R1+R2

v；
（3）線框的最大運(yùn)動(dòng)距離

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

；
（4）線框運(yùn)動(dòng)到

xm

2

過程中，電阻R₁產(chǎn)生的焦耳熱

1

4

mv

20

．