Question

【題目】如圖所示，一軌道由半徑為2 m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長(zhǎng)度可以調(diào)節(jié)的水平直軌道BC在B點(diǎn)平滑連接而成。現(xiàn)有一質(zhì)量為0.2 kg的小球從A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，經(jīng)過(guò)圓弧上的B點(diǎn)時(shí)，傳感器測(cè)得軌道所受壓力大小為3.6 N，小球經(jīng)過(guò)BC段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C點(diǎn)水平飛離軌道，落到水平面上的P點(diǎn)，P、C兩點(diǎn)間的高度差為3.2 m。小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以視為質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)空氣阻力。

（1）求小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的速度大小；

（2）求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；

（3）為使小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離最大，求BC段的長(zhǎng)度；

（4）小球落到P點(diǎn)后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設(shè)小球每次碰撞機(jī)械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等。求小球從C點(diǎn)飛出后靜止所需的時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）4m/s（2）2.4J（3）3.36m（4）2.4s

【解析】試題分析：（1）小球在B點(diǎn)受到的重力與支持力的合力提供向心力，由此即可求出B點(diǎn)的速度；（2）根據(jù)動(dòng)能定理即可求出小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；（3）結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的公式，即可求出為使小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離最大時(shí)BC段的長(zhǎng)度；（4）由機(jī)械能的損失求出速度的損失，然后結(jié)合豎直上拋運(yùn)動(dòng)的公式求出各段時(shí)間，最后求和即可；

（1）小球在B點(diǎn)受到的重力與支持力的合力提供向心力，則：

代入數(shù)據(jù)可得：

（2）A到B的過(guò)程中重力和阻力做功，則由動(dòng)能定理可得：

代入數(shù)據(jù)得：

（3）B到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：

解得：

從C點(diǎn)到落地的時(shí)間：

B到P的水平距離：

代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立并整理可得：

可知。當(dāng)時(shí)，P到B的水平距離最大，為L=3.36m

（4）由于小球每次碰撞機(jī)械能損失75%，由，則碰撞后的速度為碰撞前速度的，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，則碰撞后豎直方向的分速度為碰撞前豎直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高點(diǎn)的時(shí)間等于從C點(diǎn)到落地的時(shí)間的，所以從第一次碰撞后到發(fā)生第二次碰撞的時(shí)間：，同理，從第二次碰撞后到發(fā)生第三次碰撞的時(shí)間：，由此類推可知，從第n次碰撞后到發(fā)生第n+1次碰撞的時(shí)間：

小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：

由數(shù)學(xué)歸納法分可得：