Question

4．如圖所示的水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直軸OO′旋轉(zhuǎn)，盤上水平桿上穿著兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B．現(xiàn)將A和B分別置于距軸r和2r處，并用不可伸長(zhǎng)的輕繩相連．已知兩球與桿之間的最大靜摩擦力都是f_m．試分析角速度ω從零逐漸增大，兩球?qū)�軸保持相對(duì)靜止過(guò)程中，
（1）ω滿足什么條件時(shí)，繩中將出現(xiàn)張力？
（2）ω滿足什么條件時(shí)，A所受的摩擦力為零？
（3）ω滿足什么條件時(shí)，A、B將一起滑動(dòng)？

Answer 1

分析 角速度從零開始逐漸增大，當(dāng)較小時(shí)，A和B只靠自身靜摩擦力提供向心力，當(dāng)B達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，繩子開始出現(xiàn)張力；繩子出現(xiàn)張力后，角速度增大，張力增大，A球所受的摩擦力減小，當(dāng)張力達(dá)到一定程度時(shí)，A球摩擦力反向；當(dāng)A球摩擦力反向后達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，兩球相對(duì)軸滑動(dòng)．

解答 解：（1）由于ω從零開始逐漸增大，當(dāng)ω較小時(shí)，A和B只靠自身靜摩擦力提供向心力．
A球：${f_A}=m{ω^2}r$
B球：${f_B}=m{ω^2}•2r$
隨ω增大，靜摩擦力不斷增大，且B球需要的摩擦力比A大．設(shè)繩中出現(xiàn)張力的角速度為ω₁，由牛頓第二定律有：
$\begin{array}{l}{f_m}+F=mω_1^22r\\ F＞0\end{array}$
得${ω_1}＞\sqrt{\frac{f_m}{2mr}}$
（2）若角速度ω繼續(xù)增大，則有
A球：${f_A}+F=m{ω^2}r$
B球：${f_m}+F=m{ω^2}•2r$
由B球可知：當(dāng)角速度由ω增至ω'時(shí)，繩上張力將增加△F△F=m•2r（ω'²-ω²）．
對(duì)于A球應(yīng)有$mr（{ω'^2}-{ω^2}）=△{f_A}+△F=△{f_A}+m•2r（{ω'^2}-{ω^2}）$可見△f_A＜0，即隨ω的增大，A球所受摩擦力將不斷減小，直至角速度為ω₂時(shí)，f_A=0．
A球：$F=mω_2^2r$
B球：$F+{f_m}=mω_2^2•2r$
解得：${ω_2}=\sqrt{\frac{f_m}{mr}}$
（3）當(dāng)角速度從ω₂繼續(xù)增加時(shí)，A球所受的摩擦力方向?qū)⒀貤U指向外側(cè)，并隨ω的增大而增大，直至f_A=f_m為止．設(shè)此時(shí)角速度為ω₃，并有
A球：$F-{f_m}=mω_3^2r$；
B球：$F+{f_m}=mω_3^2•2r$
解得：${ω_3}=\sqrt{\frac{{2{f_m}}}{mr}}$
所以，當(dāng)${ω_3}＞\sqrt{\frac{{2{f_m}}}{mr}}$時(shí)，A和B將一起向B一側(cè)甩出．
答：（1）ω滿足${ω}_{\;}＞\sqrt{\frac{{f}_{m}}{2mr}}$時(shí)，繩中將出現(xiàn)張力；
（2）ω滿足${ω}_{\;}=\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$時(shí)，A所受的摩擦力為零；
（3）ω滿足${ω}_{\;}＞\sqrt{\frac{2{f}_{m}}{mr}}$時(shí)，A、B將一起滑動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清A、B球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及能夠通過(guò)A、B兩球向心力的變化判斷出小球受力的變化．