Question

10．如圖所示，水平傳送帶的左端與一傾角θ=37°的粗糙斜面平滑連接，一個(gè)小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上的A點(diǎn)由靜止釋放，沿斜面滑下并沖上傳送帶，傳送帶以恒定速率v=2m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．已知小滑塊的質(zhì)量m=2kg，斜面上A點(diǎn)到斜面底端的長(zhǎng)度s=9m，傳送帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=10m，小滑塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.50，小滑塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.40，g=10m/s²．求：
（1）小滑塊到達(dá)斜面底端P的速度大�。�
（2）a．判斷沖上傳送帶的小滑塊是否可以運(yùn)動(dòng)到傳送帶的右端Q；
b．若小滑塊可以運(yùn)動(dòng)到Q，試求小滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中摩擦力分別對(duì)小滑塊和傳送帶做的功；若小滑塊不能達(dá)到Q，試求小滑塊從P點(diǎn)開(kāi)始再次運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過(guò)程中摩擦力分別對(duì)小滑塊和傳送帶做的功；
（3）小滑塊在斜面和傳送帶上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，小滑塊相對(duì)于地面的總路程．

Answer 1

分析 （1）對(duì)滑塊下滑過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出滑塊到達(dá)P端的速度．
（2）滑塊滑上水平傳送帶后向右做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果滑塊速度減為零時(shí)的位移大于等于傳送帶的長(zhǎng)度，則滑塊可以到達(dá)QQ端，否則不能達(dá)到Q端；分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用功的計(jì)算公式可以求出功．
（3）分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程判斷滑塊的最終位置，然后應(yīng)用能量守恒定律求出滑塊的路程．

解答 解：（1）滑塊下滑過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgssinθ-μ₁mgcosθ•s=$\frac{1}{2}$mv_P²-0，
代入數(shù)據(jù)解得：v_P=6m/s；
（2）a、滑塊到達(dá)傳送帶上后做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在滑塊速度減為零過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-μ₂mgs′=0-$\frac{1}{2}$mv_P²，
代入數(shù)據(jù)解得：s′=4.5m＜L=10m，滑塊不能到達(dá)Q端；
b、滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為：a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=4m/s²，
滑塊向右減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{P}}{a}$=$\frac{6}{4}$=1.5s，
在此時(shí)間內(nèi)，傳送帶位移為：x₁=vt₁=2×1.5=3m，
滑塊向右加速運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度需要的時(shí)間為：t₂=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{4}$=0.5s，
在此時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移為：x₂=vt₂=2×0.5=1m，
在整個(gè)過(guò)程中，摩擦力對(duì)傳送帶做功為：W_傳送帶=-μ₂mg（x₁+x₂）=-32J，
由動(dòng)能定理可知，整個(gè)過(guò)程摩擦力對(duì)滑塊做功為：W_滑塊=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_P²=-32J；
（3）滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要考查摩擦力做功，使其機(jī)械能減少，最終滑塊將靜止在P處，有：
μ₁cosθ=μ₂=μ=0.4，
設(shè)滑塊在整個(gè)過(guò)程中相對(duì)水平地面的路程為s_總，對(duì)滑塊由動(dòng)能定理得：
mgssinθ=μmgs_總，
代入數(shù)據(jù)解得：s_總=13.5m；
答：（1）小滑塊到達(dá)斜面底端P的速度大小為6m/s；
（2）a、小滑塊不能運(yùn)動(dòng)到傳送帶的右端Q；
b、小滑塊從P點(diǎn)開(kāi)始再次運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過(guò)程中摩擦力對(duì)小滑塊做功為-32J，摩擦力對(duì)傳送帶做的功為-32J；
（3）小滑塊在斜面和傳送帶上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，小滑塊相對(duì)于地面的總路程是13.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理的應(yīng)用，分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理可以解題．分析滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)要注意：滑塊在傳送帶上向左先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；解題時(shí)要注意，（3）求的是滑塊相對(duì)地面的路程．