Question

如圖，直線MN上方足夠太空間為勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直位于面內(nèi)的紙面向外，MN下方有n個(gè)寬度均為2L勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里和向外，各部分磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．邊長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的導(dǎo)線框從MN上方某一高度由靜止開始下落，線框電阻為R（不計(jì)空氣阻力）．
（1）求下列①、②兩種情況下線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)ab邊距MN的高度；
①線框能勻速進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1；
②線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1到ab邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)2的時(shí)間為t，且線框依經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域l、2、3…n的時(shí)間均相同．
（2）對(duì)于上面第②種運(yùn)動(dòng)情況，求線框從靜止開始運(yùn)動(dòng)到cd邊剛進(jìn)入第n個(gè)磁場(chǎng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線框進(jìn)入磁場(chǎng)前過(guò)程，由動(dòng)能定理，可求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，從而根據(jù)切割感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，結(jié)合閉合電路歐姆定律，與平衡方程，即可求解；
（2）根據(jù)進(jìn)入磁場(chǎng)前，由動(dòng)能定理求出速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)ab邊距MN的高度；
（3）線框從靜止到cd剛好進(jìn)入第n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)釋放線框時(shí)ab邊距MN的高度為h，線框進(jìn)入磁場(chǎng)1的速度為v，進(jìn)入磁場(chǎng)前由動(dòng)能定理有：mgh=

1

2

mv2-0
線框進(jìn)入磁場(chǎng)1時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=2BLv
線框中的電流為：I=

E

R

對(duì)線框受力分析，有mg-2BIL=0
帶入數(shù)據(jù)解得：h=

m2gR2

32B4L4

（2）線框從距MN的高度為H處下落，進(jìn)入磁場(chǎng)1時(shí)的速度為v₁，線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v₂，由題中可知，線框進(jìn)出每個(gè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)情況相同，故所以線框出磁場(chǎng)時(shí)的速度也為v₁，線框進(jìn)入磁場(chǎng)1前的過(guò)程分析：mgH=

1

2

m

v

2 1

-0
線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)到出磁場(chǎng)的過(guò)程中線框做勻加速運(yùn)動(dòng)，有：L=

v1+v2

2

t
同時(shí)速度有關(guān)系：v₁=v₂+gt
帶入數(shù)據(jù)解得：H=

1

2

L+

L2

2gt2

+

1

8

gt2
（3）線框從靜止到cd剛好進(jìn)入第n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒有：mgH+(2n-1)mgL=Q+

1

2

m

v

2 2

帶入數(shù)據(jù)解得：Q=2nmgL
答：（1）線框能勻速進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1，線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)ab邊距MN的高度得h=

m2gR2

32B4L4

；
（2）線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1到ab邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)2的時(shí)間為t，且線框依經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域l、2、3…n的時(shí)間均相同，線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)ab邊距MN的高度得H=

1

2

L+

L2

2gt2

+

1

8

gt2；
（3）線框從靜止開始運(yùn)動(dòng)到cd邊剛進(jìn)入第n個(gè)磁場(chǎng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱2nmgL．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合應(yīng)用，注意動(dòng)能定理應(yīng)用中的功的正負(fù)值，同時(shí)理解能量轉(zhuǎn)化與守恒的應(yīng)用．