Question

18．兩條彼此平行寬L=0.5m的光滑金屬導軌（導軌電阻不計）水平固定放置，導軌左端接阻值R=2Ω的電阻，右端接阻值4Ω的小燈泡，如下面左圖所示．在導軌的MNQP矩形區(qū)域內有豎直向上的勻強磁場，MP的長d=2m，MNQP區(qū)域內磁場的磁感應強度B隨時間t變化的關系如下面右圖所示．垂直導軌跨接一金屬桿，金屬桿的電阻r=2Ω，兩導軌電阻不計．在t=0時刻，用水平力F拉金屬桿，使金屬桿由靜止開始從GH位置向右運動．在金屬桿從GH位置運動到PQ位置的過程中，小燈泡的亮度一直沒有變化．求：
（1）通過燈泡L的電流大小I_D；
（2）金屬棒進入磁場的速度；
（3）金屬棒的質量m
（4）整個過程中金屬桿產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）金屬棒未進入磁場時，由法拉第電磁感應定律可得出感應電動勢的大小，由電路的性質可得出電阻，則可求得通過燈泡的電流．
（2）由歐姆定律求出感應電動勢，然后由E=BLv的變形公式求出金屬棒的速度．
（3）由歐姆定律可求得電路中的電動勢，由E=BLv可求得導體棒的速度，則可求得勻加速運動過程的加速度，再由牛頓第二定律可求得質量．
（4）根據能量守恒求解金屬桿產生的熱量Q．

解答 解：（1）金屬棒未進入磁場時，
  R_總=R_L+$\frac{Rr}{R+r}$=4Ω+$\frac{2×2}{2+2}$Ω=5Ω，
由法拉第電磁感應定律可得：
 E₁=S$\frac{△B}{△t}$=Ld•$\frac{△B}{△t}$=0.5×2×$\frac{2}{4}$V=0.5V，
通過小燈泡的電流：I_L=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{總}}$=$\frac{0.5}{5}$=0.1A；
（2）因燈泡亮度不變，故4s末金屬棒恰好進入磁場且做勻速運動，金屬棒中的電流為：
  I=I_L+I_R=I_L+$\frac{{I}_{L}{R}_{L}}{R}$=0.1+0.1×$\frac{0.5×4}{2}$=0.3A，
4s后回路中的感應電動勢為：E₂=I（r+$\frac{R{R}_{L}}{R+{R}_{L}}$）=0.3×（2+$\frac{2×4}{2+4}$）=1V，
因為E=BLv，則4s末金屬棒的速度：
 v=$\frac{{E}_{2}}{BL}$=$\frac{1}{2×0.5}$=1m/s；
（3）由運動學公式v=v₀+at可知，
前4s金屬棒的加速度為：
 a=$\frac{v}{t}$=$\frac{1}{4}$=0.25m/s²，
金屬棒勻速運動，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：
恒力 F=F_B=BIL=2×0.3×0.5=0.3N，
故金屬棒的質量：m=$\frac{F}{a}$=$\frac{0.3}{0.25}$=1.2kg；
（4）未進入磁場時，金屬棒中電流為$\frac{1}{2}{I}_{L}^{\;}$，產生的焦耳熱 Q₁=$（\frac{1}{2}{I}_{L}）^{2}$rt=$（\frac{1}{2}×0.1）^{2}$×2×4J=0.02J
通過磁場時產生的焦耳熱 Q₂=I₂r$•\fract0ek1fb{v}$=0.3²×2×$\frac{2}{1}$J=0.36J
故整個過程中金屬桿產生的熱量 Q=Q₁+Q₂=0.38J
答：
（1）通過小燈泡的電流大小為0.1A；
（2）4s末金屬棒的速度大小為1m/s．
（3）金屬棒的質量為1.2kg．
（4）整個過程中金屬桿產生的熱量是0.38J．

點評 本題考查的問題較多，但多為基礎知識的應用，掌握好法拉第電磁感應定律、安培力、閉合電路的歐姆定律及電路的性質即可順利求解．