Question

10．在某星球表面，用彈簧測力計(jì)測得質(zhì)量為m₀的物體的重力為P，已知該星球的半徑為R，萬有引力常量為G，它的同步通訊衛(wèi)星的軌道離地面的高度為h，則（　�。�

• A． 星球的質(zhì)量為$\frac{P{R}^{2}}{G{m}_{0}}$
• B． 星球的同步通訊衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小等于$\frac{P}{{m}_{0}}$
• C． 星球的自轉(zhuǎn)周期等于$\frac{2π}{R}$$\sqrt{\frac{{m}_{0}（R+h）^{3}}{P}}$
• D． 該星球的第一宇宙速度為v=R$\sqrt{\frac{P}{{m}_{0}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球表面的重力加速度求出地球的質(zhì)量，根據(jù)重力提供向心力求出地球的第一宇宙速度．地球自轉(zhuǎn)周期與同步衛(wèi)星的周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力求出同步衛(wèi)星的周期．根據(jù)重力提供向心力求出近地衛(wèi)星的向心加速度．

解答 解：A、星球表面的重力加速度$g=\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，星球表面物體的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得星球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，聯(lián)立得$M=\frac{P{R}_{\;}^{2}}{G{m}_{0}^{\;}}$，故A正確．
B、星球的同步通訊衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$，得x向心加速度大小為：$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，由A選項(xiàng)知星球表面的重力加速度為：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，所以星球的同步通訊衛(wèi)星的向心加速度不等于$\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，故B錯(cuò)誤．
C、星球的同步通訊衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)周期等于星球的自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)萬有引力等于向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$，由A選項(xiàng)知$M=\frac{P{R}_{\;}^{2}}{G{m}_{0}^{\;}}$，代入周期表達(dá)式得：
$T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{m}_{0}^{\;}（R+h）_{\;}^{3}}{P}}$，故C確
D、根據(jù)星球的近地衛(wèi)星萬有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，將質(zhì)量M代入，得$v=\sqrt{\frac{PR}{{m}_{0}^{\;}}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．