Question

如圖所示，電阻忽略不計(jì)的、兩根平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，其上端接一阻值R=3Ω的定值電阻．在水平虛線L₁、L₂間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場B，磁場區(qū)域的高度為d=0.5m．導(dǎo)體桿a的質(zhì)量m_a=0.2kg、電阻R_a=6Ω；導(dǎo)體桿b的質(zhì)量m_b=0.6kg、電阻R_b=3Ω，它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動，且都能勻速穿過磁場區(qū)域，當(dāng)a桿剛穿出磁場時b桿正好進(jìn)入磁場．重力加速度為g=10m/s²．（不計(jì)a、b之間的作用）求：
（1）在整個過程中，a、b兩桿完全穿出磁場區(qū)克服安培力分別做的功；
（2）設(shè)a、b桿在磁場中的運(yùn)動速率分別為v_a和v_b，則

va

vb

的值為多少？
（3）M點(diǎn)和N點(diǎn)距水平虛線L₁的高度．

Answer 1

分析：（1）a、b在磁場中勻速運(yùn)動，其安培力等于各自的重力，根據(jù)重力做功情況求出a、b兩棒克服安培力分別做的功．
（2）a、b進(jìn)入磁場都做勻速直線運(yùn)動，受重力和安培力平衡，根據(jù)平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律和切割產(chǎn)生感應(yīng)電動勢大小公式，求出a、b做勻速直線運(yùn)動的速度大小，從而求出兩速度之比．
（3）根據(jù)a、b棒進(jìn)入磁場中的速度之比，通過位移公式求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度之比，抓住當(dāng)b剛穿出磁場時a正好進(jìn)入磁場，有v_a=v_b+gt，d=v_bt結(jié)合a、b的速度比，求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度．

解答：解：（1）因a、b桿在磁場中做勻速運(yùn)動，設(shè)a桿克服安培力做功W_a，
由動能定理可得：m_agd-W_a=△E_k=0…①
解得：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J…②
同理設(shè)b桿克服安培力做功W_b，由動能定理得：
   m_bgd-W_b=△E_k=0…③
解得：W_b=m_bgd=0.6×10×0.5J=3J…④
（2）當(dāng)a桿以速度v_a在磁場中勻速運(yùn)動時，回路的
總電阻為R1=Ra+

R?Rb

R+Rb

=7.5Ω …⑤
a桿中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為：E_a=BLv_a…⑥
a桿產(chǎn)生感應(yīng)電流為：Ia=

Ea

R1

…⑦
由a桿做勻速運(yùn)動有：BI_aL=m_ag…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：

B2L2va

R1

=mag…⑨
同理b桿以速度v_b在磁場中勻速運(yùn)動時，回路總電阻為R2=Rb+

R?Ra

R+Ra

=5Ω…⑩
b桿中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為：E_b=BLv_b…（11）
b桿產(chǎn)生感應(yīng)電流為：Ib=

Eb

R2

…（12）
由b桿做勻速運(yùn)動有：BI_bL=m_bg…（13）
由⑩、（11）、（12）、（13）可得：

B2L2vb

R2

=mbg…（14）
由⑨（14）可得：

va

vb

=

ma

mb

?

R1

R2

=

1

2

…（15）
（3）設(shè)a桿在磁場中運(yùn)動歷時為t，由題有：
  d=v_a?t…（16）
  v_b=v_a+gt…（17）
結(jié)合（15）式va=

1

2

vb
解得：vb=

20

m/s…（18）
依vb2=2ghb得：hb=

vb2

2g

=1m…（19）
聯(lián)立（15）（18）式解得：va=

1

2

vb=

5

m/s…（20）
所以：ha=

va2

2g

=

1

4

m…（21）
答：
（1）在整個過程中，a、b兩桿完全穿出磁場區(qū)克服安培力分別做的功為1J和3J；
（2）設(shè)a、b桿在磁場中的運(yùn)動速率分別為v_a和v_b，則

va

vb

的值為

1

2

．
（3）M點(diǎn)和N點(diǎn)距水平虛線L₁的高度是

1

4

m．

點(diǎn)評：本題電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題往往要分析和計(jì)算安培力的大�。�本題的關(guān)鍵是尋找兩棒之間的關(guān)系式υ_a=υ_b+gt．