Question

天文觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)宇宙中存在著“雙星”，所謂雙星，是兩顆質(zhì)量相近，分別為m₁和m₂的恒星，它們的距離為r，而r遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它們跟其它天體之間的距離，這樣的雙星將繞著它們的連線上的某點(diǎn)O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．求：
（1）這兩顆星到O點(diǎn)的距離r₁、r₂各是多大
（2）雙星的周期．

Answer 1

分析：雙星以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由對(duì)方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個(gè)天體分別研究，再求解雙星運(yùn)行軌道半徑和周期．

解答：解：（1）如圖，
設(shè)雙星中質(zhì)量為m₁的天體軌道半徑為r₁，質(zhì)量為m₂的天體軌道半徑為r₂
據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，得：G

m1m2

r2

=m1ω2r1----①
G

m1m2

r2

=m2ω2r2----②
r₁+r₂=r----③
由①②③聯(lián)立解得：r1=

m2

m1+m2

r
r2=

m1

m1+m2

r
（2）
再由：G

m1m2

r2

=m2(

2π

T

)2r2得
運(yùn)行的周期T=2πr

r G(m1+m2)

答：（1）這兩顆星到O點(diǎn)的距離r₁、r₂分別為r1=

m2

m1+m2

r，r2=

m1

m1+m2

r．
（2）雙星的周期為2πr

r G(m1+m2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：周期相同．