Question

15．一個(gè)半徑為R=0.5m的水平轉(zhuǎn)盤可以繞豎直軸O′O″轉(zhuǎn)動(dòng)，水平轉(zhuǎn)盤中心O′處有一個(gè)光滑小孔，用一根長(zhǎng)L=1m細(xì)線穿過小孔將質(zhì)量分別為m_A=0.2kg、m_B=0.5kg的小球A和小物塊B連接，小物塊B 放在水平轉(zhuǎn)盤的邊緣且與轉(zhuǎn)盤保持相對(duì)靜止，如圖所示．現(xiàn)讓小球A在水平面做角速度ω_A=5rad/s的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小物塊B與水平轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因素μ=0.3 （取g=10m/s²），求：
（1）細(xì)線與豎直方向的夾角θ；
（2）小球A運(yùn)動(dòng)不變，現(xiàn)使水平轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)起來，要使小物塊B與水平轉(zhuǎn)盤間保持相對(duì)靜止，求水平轉(zhuǎn)盤角速度ω_B的取值范圍；（最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）
（3）在水平轉(zhuǎn)盤角速度ω_B為（2）問中的最大值的情況下，當(dāng)小球A和小物塊B轉(zhuǎn)動(dòng)至兩者速度方向相反時(shí)，由于某種原因細(xì)線突然斷裂，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球A和小物塊B的速度相互垂直．（可能使用到的sin30°=$\frac{1}{2}$，cos30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 （1）A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和繩子的拉力合力提供向心力，根據(jù)向心力公式及幾何關(guān)系即可求解；
（2）當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大，且方向背離圓心時(shí)，由繩子的拉力和靜摩擦力提供向心力，此時(shí)角速度最小，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大，且方向指向圓心時(shí)，由繩子的拉力和靜摩擦力提供向心力，此時(shí)角速度最大，根據(jù)向心力公式列式即可求解；
（3）所以繩子斷裂后，B球立即離開轉(zhuǎn)盤做平拋運(yùn)動(dòng)，同時(shí)A球也離開圓軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)v=ωr求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式再結(jié)合角度關(guān)系即可求解．

解答 解：（1）對(duì)小球A受力分析如圖所示，由F=ma得，
${m}_{A}gtanθ={m}_{A}{r}_{A}{{ω}_{A}}^{2}$，①
由幾何關(guān)系知：${r}_{A}=\frac{L}{2}sinθ$，②
由①②解得：$cosθ=\frac{4}{5}$，
即θ=37°．③
（2）對(duì)物塊B受力分析，由F=ma得，
 當(dāng)物塊受到的最大靜摩擦力f_max向左時(shí)，轉(zhuǎn)盤ω_B最大．
$T+μ{m}_{B}g={m}_{B}{r}_{B}{{ω}_{Bmax}}^{2}$    ④
當(dāng)物塊受到的最大靜摩擦力f_max向右時(shí)，轉(zhuǎn)盤ω_B最�。�
$T-μ{m}_{B}g={m}_{B}{r}_{B}{{ω}_{Bmin}}^{2}$     ⑤
又由（1）對(duì)A知，$T=\frac{{m}_{A}g}{cosθ}$    ⑥
聯(lián)合③④⑤⑥解得ω_Bmin=2rad/s，ω_Bmax=4rad/s．
即ω_B的取值范圍為2rad/s＜ω_B＜4rad/s．
（3）繩斷后A、B均做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t，A和B速度垂直，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知此時(shí)A、B豎直方向速度均為v_y=gt⑦
水平方向：v_OA=r_Aω_A=1.5m/s，
v_OB=r_Bω_Bmin=2m/s．
作圖，由幾何關(guān)系得，${{v}_{y}}^{2}={v}_{OA}•{v}_{OB}$，
即t=$\sqrt{\frac{{v}_{OA}{v}_{OB}}{{g}^{2}}}$，
代入數(shù)據(jù)解得t=$\frac{\sqrt{3}}{10}s$．
答：（1）細(xì)線與豎直方向的夾角為37°；
（2）水平轉(zhuǎn)盤角速度ω_B的取值范圍為2rad/s＜ω_B＜4rad/s．
（3）經(jīng)過$\frac{\sqrt{3}}{10}s$時(shí)間小球A和小物塊B的速度相互垂直．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，能根據(jù)向心力公式、平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律以及數(shù)學(xué)知識(shí)求解，難度較大，屬于難題．