Question

（25分）如圖所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的、剛性平面。在處放一帶電量為的小物塊，該物塊與一細(xì)線相連，細(xì)線的另一端穿過(guò)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑小孔，可通過(guò)它牽引小物塊�，F(xiàn)對(duì)該系統(tǒng)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向垂直與軸，與軸夾角為（如所示）。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為,且靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)相同。不計(jì)重力作用�，F(xiàn)通過(guò)細(xì)線來(lái)牽引小物塊，使之移動(dòng)。在牽引過(guò)程中，我們約定：細(xì)線的端只準(zhǔn)沿軸向下緩慢移動(dòng)，不得沿軸向上移動(dòng)；小物塊的移動(dòng)非常緩慢，在任何時(shí)刻，都可近似認(rèn)為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動(dòng)軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。

Answer 1

解析：

設(shè)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為，它在方向和方向的分量分別為， 。

由于物塊帶負(fù)電，電場(chǎng)作用于物塊的電力的兩個(gè)分量分別為

                                 （1）

                                （2）

在平面內(nèi)，方向沿軸正方向．垂直于平面，被絕緣平面的支持力所平衡，故物塊對(duì)絕緣平面的正壓力的大小和的大小相等，即

     

    絕緣平面作用于物塊的摩擦力

                  （3）

的方向決定于物塊移動(dòng)的方向．

根據(jù)題意，物塊在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可看做是一種在力平衡下的緩慢移動(dòng)．作用于物塊的三個(gè)力、和線的拉力都在平面內(nèi)．物塊在任一位置達(dá)到平衡時(shí)的受力情況如圖所示。為細(xì)線與軸的夾角。把沿和方向分解得

              

用和表示的兩個(gè)分量，物塊平衡時(shí)，有

               （4）

                  （5）

由（4）、（5）式得

注意到（3）式，得

得 或                                （6）

因要小物塊緩慢移動(dòng)，需要細(xì)線牽引，不符合題意，應(yīng)舍去．因，，將代入（4）、（5）式，

有

摩擦力方向的斜率

                                      （7）

是摩擦力方向與軸夾角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始終沿軌道的切線方向，故也就是軌道切線的斜率．下面，通過(guò)對(duì)（7）式的分析來(lái)尋找軌道方程．

當(dāng)中一0，k－co即在起點(diǎn)A時(shí)，軌道的切線與x軸垂直

當(dāng)，，即在起點(diǎn)時(shí)，軌道的切線與軸垂直。

當(dāng)，，一種情況是小物塊運(yùn)動(dòng)到軸上后，沿軸做直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，但這與題設(shè)軌跡移動(dòng)是一條二次曲線不符，因而它一定表示軌道在點(diǎn)的切線與軸垂直．

在二次曲線中，曲線上兩點(diǎn)切線相互平行的只有橢圓或圓．又因?yàn)?IMG height=16 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090720/20090720144847036.gif' width=15>、兩點(diǎn)的切線與它們的連線相垂直，這連線應(yīng)為曲線的軸線，且在軸上，另一軸在它的垂直平分線上且與軸平行。曲線與此軸線的交點(diǎn)的切線的斜率為0.代入（7）式得，故該曲線為圓，其方程為

                                 （8）