Question

3．初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一些推論：
（1）質(zhì)點(diǎn)在t，2t，3t，…，nt時(shí)刻的速度之比為v₁：v₂：v₃：…：v_n=1：2：3：…：n；
（2）質(zhì)點(diǎn)在t，2t，3t，…，nt時(shí)間內(nèi)的位移之比為s₁：s₂：s₃：…：s_n=$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$；
（3）質(zhì)點(diǎn)連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)位移之比為s_Ⅰ：s_Ⅱ：s_Ⅲ：…：s_N=1：3：5：…（2N-1）；
（4）質(zhì)點(diǎn)在連續(xù)相等的位移段內(nèi)，連續(xù)各段所用的時(shí)間之比為$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$．

Answer 1

分析 本題應(yīng)掌握初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式x=$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$．第二個(gè)T秒內(nèi)的位移等于前兩個(gè)T秒內(nèi)的位移減去第一個(gè)T秒內(nèi)的位移，第三個(gè)T秒內(nèi)的位移等于前三個(gè)T秒內(nèi)的位移減去前兩個(gè)T秒內(nèi)的位移，…從而可以求出第一個(gè)T秒內(nèi)、第二個(gè)T秒內(nèi)、第三個(gè)T秒內(nèi)…第nT秒內(nèi)的位移之比；運(yùn)用比例法，求出從靜止開始通過連續(xù)相等的位移所用的時(shí)間之比．

解答 解：（1）根據(jù)v=at
質(zhì)點(diǎn)在ts時(shí)速度${v}_{1}^{\;}=at$；
2t時(shí)刻速度${v}_{2}^{\;}=a•2t$；
3t時(shí)刻速度${v}_{3}^{\;}=a•3t$
…
nt時(shí)刻速度${v}_{n}^{\;}=a•nt$
所以質(zhì)點(diǎn)在t，2t，3t，…，nt時(shí)刻的速度之比為v₁：v₂：v₃：…：v_n=1：2：3：…：n
（2）質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)位移${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
2t時(shí)間內(nèi)的位移${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a（2t）_{\;}^{2}$
3t時(shí)間的位移${S}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a（3t）_{\;}^{2}$
…
nt時(shí)間位移${S}_{n}^{\;}=\frac{1}{2}a（nt）_{\;}^{2}$
質(zhì)點(diǎn)在t，2t，3t，…，nt時(shí)間內(nèi)的位移之比為s₁：s₂：s₃：…：${s}_{n}^{\;}$=$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$
（3）質(zhì)點(diǎn)連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)位移之比為1：（${2}_{\;}^{2}-1$）：（${3}_{\;}^{2}-{2}_{\;}^{2}$）：…：（${N}_{\;}^{2}-（N-1）_{\;}^{2}$）=1：3：5：…：（2N-1）
（4）根據(jù)$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2x}{a}}$
質(zhì)點(diǎn)在連續(xù)相等的位移段內(nèi)，連續(xù)各段所用的時(shí)間之比$\sqrt{\frac{2x}{a}}；（\sqrt{\frac{2•2x}{a}}-\sqrt{\frac{2x}{a}}）：（\sqrt{\frac{2•3x}{a}}-\sqrt{\frac{2•2x}{a}}）$：…：（$\sqrt{\frac{2•nx}{a}}-\sqrt{\frac{2•（n-1）x}{a}}$）=$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$
故答案為：（1）1：2：3：…：n
（2）$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$
（3）1：3：5：…：（2N-1）
（4）$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，第一個(gè)T內(nèi)、第二個(gè)T內(nèi)、第三個(gè)T內(nèi)的位移之比，以及在前一個(gè)T內(nèi)、前二個(gè)T內(nèi)、前三個(gè)T內(nèi)的位移之比．