Question

5．如圖1所示，一光滑桿固定在底座上，構成支架，放置在水平地面上，光滑桿沿豎直方向，一輕彈簧套在光滑桿上．一套在桿上的圓環(huán)從距彈簧上端H處由靜止釋放，接觸彈簧后，將彈簧壓縮，彈簧的形變始終在彈性限度內．已知支架和圓環(huán)的質量均為m，重力加速度為g，不計空氣阻力．

（1）求圓環(huán)剛接觸彈簧時的動能E_k．
（2）如圖1所示，取圓環(huán)剛接觸彈簧時的位置為坐標原點O，取豎直向下為正方向，建立x軸．在圓環(huán)壓縮彈簧的過程中，圓環(huán)的位移為x，加速度為a，在圖2中定性畫出a隨x變化關系的圖象．
（3）試論證當圓環(huán)運動到最低點時，地面對底座的支持力F_N＞3mg．

Answer 1

分析 （1）在圓環(huán)自由下落的過程中，重力勢能轉化為動能，由機械能守恒定律求解動能E_k．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得加速度a與圓環(huán)的位移x的關系式，再作出a-x圖象．
（3）對照上題圖象，求得圖象與坐標軸所圍面積，得到速度平方的變化量，得到最低點加速度與g的關系，再由牛頓第二定律證明即可．

解答 解：（1）在圓環(huán)自由下落的過程中，由機械能守恒定律得
    E_k=mgH
（2）設彈簧的勁度系數(shù)為k，根據(jù)牛頓第二定律得
   mg-kx=ma
解得  a=-$\frac{k}{m}$x+g
a-x圖象如答圖1所示．
（3）在答圖2中，A點對應于圓環(huán)剛接觸彈簧的位置，B點對應于圓環(huán)速度最大的位置，C點對應于圓環(huán)運動到的最低點．
由答圖2可知，圖象與坐標軸所圍面積：
   S₁=$\frac{1}{2}（{v}_{B}^{2}-{v}_{A}^{2}）$
   S₂=$\frac{1}{2}（{v}_{B}^{2}-{v}_{C}^{2}）$=$\frac{1}{2}{v}_{B}^{2}$
可知，S₁＜S₂．
結合答圖2可知，a_C＞g
根據(jù)牛頓第二定律得
對圓環(huán)：kx-mg=ma_C．
對底座：F_N-（kx+mg）=0
由于a_C＞g，所以得 F_N＞3mg．
答：
（1）圓環(huán)剛接觸彈簧時的動能E_k是mgH．
（2）a-x圖象如答圖1所示．
（3）證明見上．

點評 解決本題的關鍵要靈活運用牛頓第二定律得到a-x圖象，知道圖象面積的意義，也可以根據(jù)簡諧運動的特點證明第3問．