Question

1．在如圖所示的坐標(biāo)系中，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在第一、第二象限內(nèi)，既無電場也無磁場，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強電場和垂直xy平面（紙面）向里的勻強磁場，在第四象限，存在與第三象限相同的勻強電場，還有一個等腰直角三角形區(qū)域OMN，∠OMN為直角，MN邊有擋板，已知擋板MN的長度為2$\sqrt{2}$L．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從y軸上y=L處的P₁點以一定的水平初速度沿x軸負(fù)方向進入第二象限，然后經(jīng)過x軸上x=-2L處的P₂點進入第三象限，帶電粒子恰好能做勻速圓周運動，之后經(jīng)過y軸上y=-2L處的P₃點進入第四象限．已知重力加速度為g．求：
（1）粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中磁感應(yīng)強度的大��；
（3）現(xiàn)在等腰直角三角形區(qū)域OMN內(nèi)加一垂直紙面的勻強磁場，要使粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后能打到擋板MN上，求所加磁場的方向和磁感應(yīng)強度大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先做平拋運動，將運動分解成水平方向勻速直線運動與豎直方向自由落體運動，從而求出粒子到達P₂點時速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進入電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由平衡可得出電場強度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強度大�。�
（3）粒子最后粒子進入電場與重力場中時，做勻速直線運動，進入磁場后做勻速圓周運動，根據(jù)臨界條件，畫出相應(yīng)的根據(jù)，結(jié)合幾何關(guān)系即可求得磁感應(yīng)強度的范圍．

解答 解：（1）質(zhì)點從P₁到P₂做平拋運動，設(shè)粒子初速度為v₀，到達P₂點時速度的大小為v，方向與x軸負(fù)方向成θ角，運動時間為t，y軸方向速度大小為v_y，則$L=\frac{1}{2}g{t^2}$，
2L=v₀t，v_y=gt
${υ^2}=υ_0^2+υ_y^2$
$tanθ=\frac{υ_y}{υ_0}$
解得：v=$2\sqrt{gL}$，方向與x軸負(fù)方向成45°角． 
（2）質(zhì)點從P₂到P₃，帶電粒子恰好能做勻速圓周運動，所以重力與電場力平衡．P₂P₃垂直于速度方向，粒子做勻速圓周運動的圓心在P₂P₃上，即P₂P₃是直徑，設(shè)第三象限磁場磁感應(yīng)強度的大小為B，圓周運動半徑為R，則$qυB=m\frac{υ^2}{R}$
（2R）²=（2L）²+（2L）² 
解得 $B=\frac{{m\sqrt{2gL}}}{qL}$
（3）粒子進入等腰直角三角形區(qū)域時，速度垂直于OM，且從OM的中點進入，要使質(zhì)點直接打到MN板上，根據(jù)左手定則，可知所加磁場的方向垂直紙面向外．
如圖所示，當(dāng)粒子進入磁場后做勻速圓周運動，偏轉(zhuǎn)半徑最大時恰好與ON相切，偏轉(zhuǎn)半徑最小時，OM的一半為圓周的直徑，設(shè)最大半徑為R₁，最小半徑為R₂，則
${R_1}=（{R_1}+\sqrt{2}L）sin{45^0}$
解得 ${R_1}=（2+\sqrt{2}）L$
${R_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$
由于粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有$qυB=m\frac{υ^2}{R}$
解得  $\frac{{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}}{qL}$＜B＜$\frac{{2m\sqrt{2gL}}}{qL}$
答：（1）粒子到達P₂點時速度的大小是$2\sqrt{gL}$，方向與x軸負(fù)方向成45°角；
（2）第三象限空間中磁感應(yīng)強度的大小是$\frac{m\sqrt{2gL}}{qL}$；
（3）所加磁場的方向和磁感應(yīng)強度大小的范圍是 $\frac{{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}}{qL}$＜B＜$\frac{{2m\sqrt{2gL}}}{qL}$．

點評 本題考查帶電粒子在場中三種運動模型：勻速圓周運動、平拋運動和類斜拋運動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．