Question

12．電子擴(kuò)束裝置由電子加速器、偏轉(zhuǎn)電場和偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場由加了電壓的相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板形成，如圖甲所示．大量電子（其重力不計）由靜止開始，經(jīng)加速電場加速后，連續(xù)不斷地沿平行板的方向從兩板正中間射入偏轉(zhuǎn)電場．當(dāng)兩板不帶電時，這些電子通過兩板之間的時間為2t₀，當(dāng)在兩板間加如圖乙所示的周期為2t₀、幅值恒為U₀的電壓時，所有電子均從兩板間通過，然后進(jìn)入水平寬度為l，豎直寬度足夠大的勻強(qiáng)磁場中，最后通過勻強(qiáng)磁場打在豎直放置的熒光屏上．問：

（1）電子在剛穿出兩板之間時的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比為多少？
（2）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為多少？（已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中的半徑的公式可知，粒子的速度越大，半徑越大，所以要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t₀…等時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t₀…等時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場；
（2）電子垂直打在熒光屏上，根據(jù)粒子的運(yùn)動的軌跡的幾何關(guān)系，可以求得勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）于各個時刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同．根據(jù)電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移可以求得打在熒光屏上的電子束的寬度．

解答 解：
（1）由題意可知，從0、2t₀、4t₀…等時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子側(cè)向位移最大，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為${y_{max}}=\frac{1}{2}a{t_0}^2+{v_y}{t_0}=\frac{1}{2}\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2+\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2=\frac{3}{2}\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2$
從t₀、3t₀…等時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子側(cè)向位移最小，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為${y_{min}}=\frac{1}{2}a{t_0}^2=\frac{1}{2}\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2$
所以最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移之比為y_max：y_min=3：1
（2）設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場中射出時的偏向角為θ，由于電子要垂直打在熒光屏上，所以電子在磁場中運(yùn)動半徑應(yīng)為：$R=\frac{l}{sinθ}$
設(shè)電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時的速度為v_t，垂直偏轉(zhuǎn)極板的速度為v_y，則電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時的偏向角為：$sinθ=\frac{v_y}{v_t}$
式中 ${v_y}=\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^{\;}$
又   $R=\frac{{m{v_t}}}{Be}$     
由上述四式可得：$B=\frac{{{U_0}{t_0}}}{dl}$
（3）由于各個時刻從偏轉(zhuǎn)電場中出來的電子的速度大小相同，方向也相同，因此電子進(jìn)入磁場后的半徑也相同，都能垂直打在熒光屏上
由第（1）問可知電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移的差值為：
△y=y_max-y_min
所以$△y=\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2$
所以打在熒光屏上的電子束的寬度就為$△y=\frac{{{U_0}e}}{dm}t_0^2$
答：（1）電子在剛穿出兩板之間時的最大側(cè)向位移與最小側(cè)向位移之比為3：1；
（2）要使側(cè)向位移最大的電子能垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$；
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為$\frac{e{U}_{0}}{dm}{t}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評 電荷在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時間．