Question

7．如圖所示，半徑R的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=30°，另一端點C為軌道的最低點，過C點的軌道切線水平．C點右側(cè)的光滑水平面上緊挨C點放置一質(zhì)量為m、長為3R的木板，上表面與C點等高，木板右端固定一彈性擋板（即小物塊與擋板碰撞時無機械能損失），質(zhì)量為m的物塊 （可視為質(zhì)點）從空中A點以v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．已知物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5．
（1）求物塊經(jīng)過軌道上B點時的速度的大�。�
（2）求物塊經(jīng)過軌道上C點時對軌道的壓力；
（3）分析判斷木塊能否脫離木板；
（4）求木板能獲得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物體從A到B做平拋運動，可由平拋運動的速度關(guān)系求得在B點的速度；
（2）由B到C機械能守恒求得在C點的速度，再通過牛頓第二定律求得支持力，進而由牛頓第三定律求得壓力；
（3）分析物體和木塊受力，應(yīng)用牛頓第二定律求得加速度，進而得到物體碰撞擋板前兩者的速度；然后，根據(jù)動量守恒、機械能守恒得到碰撞后兩者的速度；即可根據(jù)兩者運動加速度得到兩者相對位移，進而判斷物體是否脫離木板；
（4）分析木板和物體的運動，得到木板達到最大速度的狀態(tài)，進而求解．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的物塊 （可視為質(zhì)點）從空中A點以v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平拋出，只受重力作用，做平拋運動，物體恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道，故有${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cos60}=2\sqrt{gR}$；
（2）物體從B到C只受重力、支持力作用，只有重力做功，故機械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mg（R+Rsinθ）=\frac{7}{2}mgR$，所以，${v}_{C}=\sqrt{7gR}$；
再對物體在C點進行受力分析，那么在豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=8mg$；
那么，由牛頓第三定律可得：物塊經(jīng)過軌道上C點時對軌道的壓力為8mg；
（3）物體滑上木板后受到的合外力為f=μmg，故物體做加速度a=μg=5m/s²的減速運動，木板受到的合外力也為f=μmg，故木板做加速度a=μg=5m/s²的加速運動；
那么，兩者達到相同速度$\frac{1}{2}{v}_{C}$時，物體需相對木塊滑動距離$d=\frac{1}{2}（{v}_{C}+\frac{1}{2}{v}_{C}）×\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}{v}_{C}×\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}$=$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{4a}=\frac{70R}{20}=\frac{7}{2}R$，故物體滑到木板右端與彈簧發(fā)生碰撞時，物體速度大于木板速度；
設(shè)經(jīng)過時間t后，物體運動到木板右端，故有：$3R={v}_{C}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}-\frac{1}{2}a{t}^{2}=\sqrt{7gR}t-5{t}^{2}$，且$t＜\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}$，所以，$t=\frac{\sqrt{70}-\sqrt{10}}{10}\sqrt{R}（s）$；
所以，物體運動到木板右端時，物體速度${v}_{1}={v}_{C}-at=\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$，木板速度${v}_{2}=at=\frac{\sqrt{70}-\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$；
小物塊與擋板碰撞時無機械能損失，故由動量守恒和機械能守恒可得碰撞后物體速度為v₁′，木板速度為v₂′，那么則有v₁′=v₂，v₂′=v₁；
之后小物塊受到向右的摩擦力，木板受到向左的摩擦力一起運動，直到達到共同速度或物體掉下木板；碰撞后兩者要達到共同速度需要經(jīng)歷時間${t}_{1}=\frac{{v}_{2}′-{v}_{1}′}{2a}=\frac{\sqrt{10}}{10}\sqrt{R}s$，
物體在木板上向左滑動的距離為$vfwvmcf_{1}={v}_{2}′{t}_{1}-\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}-（{v}_{1}′{t}_{1}+\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}）$=$\frac{1}{2}R$＜3R，故物體不能脫離木板；
（4）由（3）分析可知，碰撞前木板加速運動，碰撞后模板減速運動；又有碰撞后速度大于碰撞前速度，所以，木板的最大速度為${v}_{2}′=\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$；
答：（1）物塊經(jīng)過軌道上B點時的速度的大小為$2\sqrt{gR}$；
（2）物塊經(jīng)過軌道上C點時對軌道的壓力為8mg；
（3）木塊不能脫離木板；
（4）木板能獲得的最大速度為$\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題，一般先對物體進行受力分析求得合外力，然后根據(jù)幾何關(guān)系及牛頓第二定律得到運動狀態(tài)；分析做功情況，即可由動能定理、能量守恒解決相關(guān)問題．