Question

4．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱(chēng)為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可以推算出它們的總質(zhì)量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T(mén)，兩顆恒星之間的距離為r
（1）試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量（引力常量為G）
（2）研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星間距變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？

Answer 1

分析 （1）這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．
（2）雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來(lái)求解．

解答 解：（1）設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為ω₁，ω₂．根據(jù)題意有 
ω₁=ω₂ …①
r₁+r₂=r…②
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律，有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω₁²r₁…③
 G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₂ω₂²r₂…④
聯(lián)立以上各式解得：r₁=$\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…⑤
根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知：ω₁=ω₂=$\frac{2π}{T}$…⑥
聯(lián)立③⑤⑥式解得：m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r³，
（2）設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為l．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對(duì)m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{1}$----⑦
對(duì)m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$----⑧
 又因?yàn)镽₁十R₂=l，m₁+m₂=M     ⑨
由⑦⑧⑨式可得 ${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
所以當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)镵M，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，
圓周運(yùn)動(dòng)的周期${T′}^{2}=\frac{4{π}^{2}{（nl）}^{3}}{G（{m}_{1}′+{m}_{2}′）}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{3}{l}^{3}}{GkM}$=$\frac{{n}^{3}}{k}$T²
即T′=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}T$
此時(shí)雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍
答：（1）這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量是=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r³；
（2）此時(shí)雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．