Question

7．如圖所示，質(zhì)量為m的U型金屬框M′MNN′，靜放在傾角為θ的粗糙絕緣斜面上，與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ（μ＜tanθ），且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力；MM′、NN′邊相互平行，相距為L，電阻不計且足夠長；底邊MN垂直于MM′，電阻為r；光滑導(dǎo)體棒ab電阻為R，垂直于MM′橫放在框架上；整個裝置處于垂直斜面向上、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場中．在沿斜面向上且與ab垂直的拉力作用下，ab沿斜面向上勻速運動．導(dǎo)體棒ab與M′MNN′始終保持良好接觸，且重力不計．
（1）若金屬框架與斜面的摩擦力為零，則導(dǎo)體棒ab的運動速度為多大？
（2）若金屬框架保持靜止，則導(dǎo)體棒ab勻速運動的速度大小范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）金屬框架與斜面的摩擦力為零時，MN所受的安培力與重力沿斜面向下的分力平衡，由平衡條件和安培力公式求出感應(yīng)電流，再由E=BLv和歐姆定律結(jié)合求解棒ab的運動速度．
（2）由于μ＜tanθ，則要使金屬框架保持靜止，分兩種情況求解最大速度和最小速度：一是當框架恰好將要沿斜面向上運動時，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下與最大靜摩擦力之和；一是當框架恰好將要沿斜面向下運動時，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下與最大靜摩擦力之差．

解答 解：（1）金屬框架與斜面的摩擦力為零時，由平衡條件可得：
mgsinθ=F_安；
MN所受的安培力 F_安=BIL，可得：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv
由歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
聯(lián)立可解得：v=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）當框架恰好將要沿斜面向上運動時，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下與最大靜摩擦力之和，此時ab棒的速度最大，設(shè)為v₁．由平衡條件有：
F_A1=mgsinθ+μmgcosθ
又F_A1=BI₁L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$
聯(lián)立解得：v₁=$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
當框架恰好將要沿斜面向下運動時，MN受到的安培力等于框架的重力沿斜面向下與最大靜摩擦力之差，此時ab棒的速度最小，設(shè)為v₂．則有：
F_A2=mgsinθ-μmgcosθ
又 F_A2=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
可得：v₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
所以導(dǎo)體棒ab勻速運動的速度大小范圍是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$≤v≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：
（1）若金屬框架與斜面的摩擦力為零，則導(dǎo)體棒ab的運動速度為$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）若金屬框架保持靜止，則導(dǎo)體棒ab勻速運動的速度大小范圍是 $\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$≤v≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)中的力學問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題關(guān)鍵在于安培力的分析和計算．