Question

所謂“水流星”表演時(shí)，就是用繩系著裝有水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，而水不灑落．如果在表演“水流星”節(jié)目時(shí)，栓杯子的繩長為L，其最大承受力是杯子和杯內(nèi)水的重量的8倍，要使繩子不斷裂，節(jié)目表演成功，杯子通過最高點(diǎn)時(shí)速度的取值范圍為多少？

Answer 1

分析：杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，繩子拉力最小在最高點(diǎn)，拉力最大在最低點(diǎn)，借助機(jī)械能守恒和通過最高點(diǎn)的臨界條件求解．

解答：解：杯子在最低點(diǎn)時(shí)，進(jìn)行受力分析如圖
．
設(shè)杯子在最低點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為v₂，杯子和杯內(nèi)的水的總質(zhì)量為m
∴T-mg=

mv2

L

 
即T=mg+

mv2

L

①
又0≤T≤8mg     ②
∴由①②式可以解得

1

2

mv2≤

7

2

mgL     ③
在杯子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功（繩子的拉力的方向始終與運(yùn)動(dòng)的方向垂直，所以不做功，空氣阻力忽略不計(jì)），機(jī)械能守恒．
設(shè)杯子在最高點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為u
∴

1

2

mu2+2mgL=

1

2

mv2    ④
由③④式可以解得u≤

3gL

又要使杯子和杯內(nèi)的水能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，必須滿足至少杯子和杯內(nèi)的水的重力全部用來提供向心力．
即mg≤

mu2

L

∴u≥

gL

綜上所述

gL

≤u≤

3gL

答：杯子通過最高點(diǎn)時(shí)速度的取值范圍為

gL

≤u≤

3gL

．

點(diǎn)評(píng)：水桶在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力的來源是解決題目的重點(diǎn)，分析清楚哪一個(gè)力做為向心力，再利用向心力的公式可以求出來，必須要明確的是當(dāng)水桶恰好能過最高點(diǎn)時(shí)，只有水的重力作為向心力，此時(shí)水恰好流不出來．