Question

17．如圖所示，光滑導(dǎo)軌 EF、GH 等高平行放置，HF 間寬度可調(diào)節(jié)，導(dǎo)軌右側(cè)水 平且處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，左側(cè)呈弧形升高．a(chǎn)b、cd 是質(zhì)量均為 m 的金屬棒，現(xiàn) 讓 ab 從離水平軌道 h 高處由靜止下滑，設(shè)導(dǎo) 軌足夠長(zhǎng)．試求：

（1）若 EG 間寬度和 HF 間寬度相同，ab、cd 棒的最終速度各為多大？
（2）①若 EG 間寬度為 HF 間寬度的 3 倍，ab、cd 棒的最終速度各為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解ab達(dá)到最低點(diǎn)的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解最后的速度；
（2）分析最后各自的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)安培力的關(guān)系結(jié)合動(dòng)量定理列方程求解．

解答 解：（1）ab自由下滑，機(jī)械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串聯(lián)在同一電路中，任何時(shí)刻通過的電流總相等，金屬棒有效長(zhǎng)度L_ab=L_cd，故它們的磁場(chǎng)力為：F_ab=F_cd
在磁場(chǎng)力作用下，ab、cd各做變速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，當(dāng)E_ab=E_cd時(shí)，電路中感應(yīng)電流為零（I=0），安培力為零，ab、cd運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定，
此時(shí)有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=v_cd
ab、cd受的安培力大小相等、方向相反，由ab、cd組成的整體水平方向動(dòng)量守恒，得：mv=2mv’
解得：v’=$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①ab自由下滑，機(jī)械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串聯(lián)在同一電路中，任何時(shí)刻通過的電流總相等，金屬棒有效長(zhǎng)度L_ab=3L_cd，故它們的磁場(chǎng)力為：F_ab=3F_cd
在磁場(chǎng)力作用下，ab、cd各做變速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，當(dāng)E_ab=E_cd時(shí)，電路中感應(yīng)電流為零（I=0），安培力為零，ab、cd運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定，
此時(shí)有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=$\frac{1}{3}{v}_{cd}$
ab、cd受磁場(chǎng)力作用，動(dòng)量均發(fā)生變化，由動(dòng)量定理得：
F_ab△t=m（v-v_ab）
F_cd△t=mv_cd
聯(lián)立以上各式解得：V_ab=$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，
V_cd=$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$
②根據(jù)系統(tǒng)能量守恒可得：Q=△E_機(jī)=mgh-$\frac{1}{2}$m（V_ab²+V_cd²）=$\frac{9}{10}$mgh．
答：（1）若 EG 間寬度和 HF間寬度相同，ab、cd 棒的最終速度均為$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①若 EG 間寬度為 HF間寬度的3 倍，ab棒的最終速度為$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，cd棒的最終速度為$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于安培力作用下導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)問題，如果涉及電荷量、求位移問題，常根據(jù)動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒定律結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律列方程進(jìn)行解答．