Question

19．物理學(xué)家在研究物理問題時(shí)，常常抓住問題的主要因素，忽略問題的次要因素，從而抽象出一個(gè)物理模型．比如，在高中階段研究有關(guān)彈簧的問題時(shí)，由于彈簧本身質(zhì)量很小，所以將彈簧抽象為質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧．為了探討這種研究問題方法的可行性，我們以下面的問題為例進(jìn)行探究．如圖所示，水平光滑地面 上放有兩個(gè)滑塊A和B，質(zhì)量分別為m和2m，其中B滑塊上安裝一只質(zhì)量很小的輕彈簧，現(xiàn)給A一個(gè)初速度，大小為v₀，則：
①在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，計(jì)算當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p；
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，設(shè)彈簧質(zhì)量為$\frac{m}{20}$，請(qǐng)重新計(jì)算當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p′并計(jì)算與①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

Answer 1

分析 ①當(dāng)兩個(gè)滑塊速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大，彈性勢(shì)能最大．滑塊A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解共同速度；根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p；
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，兩個(gè)滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p′，再計(jì)算與①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

解答 解：①在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，兩個(gè)滑塊的總動(dòng)量守恒．當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，兩個(gè)滑塊的速度相等，設(shè)為v．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=3mv
由機(jī)械能守恒定律得彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$•3mv²
聯(lián)立解得：E_p=$\frac{1}{3}$mv₀²
②考慮彈簧質(zhì)量，兩個(gè)滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有：
mv₀=（3m+$\frac{m}{20}$）v′
由機(jī)械能守恒定律得：
E_p′=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（3m+$\frac{m}{20}$）v′²
解得：E_p′=$\frac{41}{122}$mv₀²
則比值為：$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$=$\frac{123}{122}$
答：①在不計(jì)彈簧質(zhì)量的情況下，當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p是$\frac{1}{3}$mv₀²．
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，當(dāng)彈簧壓縮最短時(shí)，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p′是$\frac{41}{122}$mv₀²，比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$是$\frac{123}{122}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要明確當(dāng)兩個(gè)滑塊速度相等時(shí)彈簧壓縮量最大，彈性勢(shì)能最大；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律列式后聯(lián)立求解．