Question

18．某建筑工地的塔式吊車把質量為1噸的建材從地面吊到離地高度h=120m的建筑平臺，用時t=15s．建材以加速度a₁從地面由靜止開始勻加速上升，經過t₁=5s，達到最大速度v_m=10m/s后勻速上升，再以加速度a₂勻減速上升，到達目的平臺時速度剛好為零．求：
（1）加速過程上升的高度；
（2）勻速運動的時間；
（3）吊車將建材吊到平臺最少用時為多少？

Answer 1

分析 （1）根據加速度的定義式求加速度，由位移公式求加速上升的高度；
（2）求出勻速運動和減速運動的位移，根據位移時間關系求出勻速時間；
（3）用時最短的過程是先勻加速運動后勻減速運動，根據位移公式和速度公式聯(lián)立求解；

解答 解：（1）根據題意知：${v}_{m}^{\;}=10m/s$           ${t}_{1}^{\;}=5s$ 
加速過程的加速度為：${a}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{10}{5}=2m/{s}_{\;}^{2}$
上升高度為：${h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=25m$
（2）設勻速運動的時間為t₂，則減速運動時間為（t-t₁-t₂）
勻速和減速運動的總位移為：${h}_{2}^{\;}={v}_{m}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{{v}_{m}^{\;}}{2}（t-{t}_{1}^{\;}-{t}_{2}^{\;}）$
${h}_{2}^{\;}=h-{h}_{1}^{\;}$
代入數(shù)據得：${t}_{2}^{\;}=9s$
（3）減速所用時間為：t₃=t-t₁-t₂=1s
減速階段加速度為：${a}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{t}_{3}^{\;}}=10m/{s}_{\;}^{2}$
用時最短為先加速后減速，設加速時間為t₄，減速時間為t₅，
總位移為：$h=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{4}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{5}^{2}$
勻加速末速度等于勻加速初速度，有：${a}_{1}^{\;}{t}_{4}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{5}^{\;}$
最短時間為：${t}_{min}^{\;}={t}_{4}^{\;}+{t}_{5}^{\;}$
代入數(shù)據有：${t}_{min}^{\;}=12s$
答：（1）加速過程上升的高度25m；
（2）勻速運動的時間9s；
（3）吊車將建材吊到平臺最少用時為12s

點評 解答此題的關鍵是熟練地應用運動學公式和牛頓定律，對運動過程要清楚，對勻變速直線運動，能用平均速度的公式求位$x=\overline{v}t=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}t$